图中的最短部分路径

Posted 2023-03-10

【中文标题】图中的最短部分路径

【英文标题】：Shortest Partial Path in a Graph

【发布时间】：2014-04-20 07:12:33

【问题描述】：

我有一个由矩阵定义的网络，其中矩阵中的 [i,j] 元素是从节点 i 到节点 j 的成本。如果 i 和 j 之间没有路径，则 [i,j] 是无限的。

我用负值填充矩阵，所以如果 i 和 j 之间的距离很短，那么我在 [i,j] 中输入非常小的值，例如 -50，如果距离很长，我把更大值，例如 -5。

我想知道如何在网络中找到部分最短路径，唯一的限制是路径应该按照预定义的顺序排列，就像矩阵 i,i+1,i+2,..中出现的元素一样。

举个简单的例子，

╔═══╦═══╦═════╦═══╦═══╦═════╗
║   ║ 1 ║  2  ║ 3 ║ 4 ║  5  ║
╠═══╬═══╬═════╬═══╬═══╬═════╣
║ 1 ║ 0 ║ -20 ║   ║   ║ -10 ║
║ 2 ║   ║   0 ║   ║   ║     ║
║ 3 ║   ║     ║ 0 ║   ║     ║
║ 4 ║   ║     ║   ║ 0 ║ -50 ║
║ 5 ║   ║     ║   ║   ║     ║
╚═══╩═══╩═════╩═══╩═══╩═════╝

这里，完整的路径形式 1-to-5 等于 -10，但是如果我们采用路径 1-to-2 然后 4-to-5 我们得到更好的分数 -50，所以这里我们跳过了 3 就可以了对于部分路径。

因此，部分路径 - 是不必访问每个节点的路径，它可能只是 1 到 2 的短段，但最短的部分路径必须是所有部分路径中最短的。

关于顺序的约束很简单，我们总是从节点1开始搜索路径并按升序进行，所以对于路径中的所有段[i,j] [i1,j1]，j>i和i1> =j。

不知道有没有什么好的方法可以在网络中找到最好的部分路径，我觉得穷举搜索也是不错的解决方案，节点数在15-20左右。

【问题讨论】：

所以，你可以从节点i移动到节点j，只有当i<j?

另外，定义“部分最短路径”的含义

我想我还是遗漏了一些东西，在这种情况下，最短路径不就是(u,v)，用于使用权重最低的边吗？

@amit，是的，但是权重是负数，所以我们倾向于聚合尽可能多的细分。

【参考方案1】：

您基本上在这里有一个Directed Acyclic Graph (DAG)，并且您正在寻找其中最长的路径，根据w(u,v) - 其中w(u,v) 是每个连接（边缘）的正权重.如果u 到v 之间没有边，我们将其权重表示为负无穷：w(u,v)=-infinity。

图表是G=(V,E)，其中V 是一个包含所有节点的集合，E = (u,v,w(u,v) | u<v 是边集合。

一般来说，Longest Path Problem 是 NP-Complete。幸运的是，您的问题是一个 DAG，并且有一个有效的Dynamic Programming 解决方案。先topologically sort节点，然后 - 从最后到第一个：

d(v) = max  d(u) + w(v,u) | for all edges (v,u) 

完成后，对于每个节点v d(v) 将表示从该节点开始的最长路径，您只需从中找到最大值即可获得所需的节点和最大值。

您可以稍后通过以下方式重建路径：

v <- startNode //the node just found to be starting the desired path
list <- [v]
while (d(v) != 0):
   for each edge (v,u):
        if d(v) - w(v,u) == d(u):
             list.append(u)
             break
return list

【讨论】：

非常感谢您的解决方案，我会尝试实现它，但是看起来它没有考虑跳过节点的情况。

我认为这个解决方案有效，但答案的措辞很奇怪，它看起来像是“偶然”工作的。我认为你会保持边缘权重 negative 并且即使有正权重它也可以工作。如果缺少边，添加权重为 0 的“假”边。然后在重建“部分路径”时，只需删除权重为 0 的任何边（请注意，如果边碰巧是“真实的”，则不在乎它是否被删除因为你仍然有一个“部分路径”）。也不需要拓扑排序——它们已经被排序了。只需从右到左构建 DP 表