Simd matmul 程序给出不同的数值结果
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【中文标题】Simd matmul 程序给出不同的数值结果【英文标题】：Simd matmul program gives different numerical results 【发布时间】：2019-04-02 14:51:51 【问题描述】：我正在尝试使用 simd 内在函数在 C 中编写矩阵乘法。我很确定我的实现，但是当我执行时，从结果矩阵系数的第 5 位开始出现一些数值错误。
REAL_T 只是一个带有 typedef 的浮点数
/* This is my matmul Version with simd, using floating simple precision*/
void matmul(int n, REAL_T *A, REAL_T *B, REAL_T *C)
int i,j,k;
__m256 vA, vB, vC, vRes;
for (i=0; i<n; i++)
for (j=0; j<n; j++)
for (k=0; k<n; k= k+8)
vA = _mm256_load_ps(&A[i*n+k]);
vB = _mm256_loadu_ps(&B[k*n+j]);
vC = _mm256_mul_ps(vA, vB);
vC = _mm256_hadd_ps(vC, vC);
vC = _mm256_hadd_ps(vC, vC);
/*To get the resulting coefficient, after doing 2 hadds,
I have to get the first and the last element of the resulting
Vector vC*/
C[i*n+j] += ((float )(vC[0])) + ((float )(vC[7]));
/* for k */
/* for j */
/* for i */
*/End of program
/*And this is the sequential Version*/
void matmul(int n, REAL_T *A, REAL_T *B, REAL_T *C)
int i,j,k;
for (i=0; i<n; i++)
for (j=0; j<n; j++)
for (k=0; k<n; k++)
C[i*n+j] += A[i*n+k] * B[k*n+j];
/* for k */
/* for j */
/* for i */
/*End of program*/
/*The matrix are initialized as follows*/
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = 0; j < n; j++)
*(A+i*n+j) = 1 / ((REAL_T) (i+j+1));
*(B+i*n+j) = 1.0;
*(C+i*n+j) = 1.0;
/*End of initialization*/
测试的矩阵大小为 512*512。 对于顺序版本，结果矩阵的左上角给出：
+6.916512e+01 +6.916512e+01
+5.918460e+01 +5.918460e+01
+7.946186e+00 +7.946186e+00
+7.936391e+00 +7.936391e+00
但是，对于 simd 版本，正方形是：
+6.916510e+01 +6.916510e+01
+5.918463e+01 +5.918463e+01
+7.946147e+00 +7.946147e+00
+7.936355e+00 +7.936355e+00
如图所示，两个版本之间存在数字错误。 任何帮助将不胜感激！
【问题讨论】：
【参考方案1】：这看起来很正常；以不同的顺序添加数字会在临时变量中产生不同的舍入。
FP 数学不是关联的；优化就好像它会改变结果。1Is Floating point addition and multiplication associative? / Are floating point operations in C associative?
变化量取决于数据。对于 float，仅小数点后 5 位的差异似乎是合理的。
除非您采取特殊的数字预防措施，例如先将小数字相加，否则顺序结果并不是“更正确”，它们只是有不同的错误。
事实上，对于大型列表，使用多个累加器通常会提高精度，假设您的数字都具有相似的量级。 （理想情况下，每个由多个元素组成的多个 SIMD 向量，以隐藏 FP-add 或 FMA 延迟）。 https://en.wikipedia.org/wiki/Pairwise_summation 是一种数值技术，将其提升到一个新的水平：将列表的子集相加到树中，以避免将单个数组元素添加到更大的值。例如，请参阅How to avoid less precise sum for numpy-arrays with multiple columns
使用固定数量的累加器（例如 8x __m256 = 64 float 累加器）可能会将预期误差减少 64 倍，而不是从 N 到 log N 进行完全成对求和。
脚注 1：关联性是并行化、SIMD 和多个累加器所必需的。 Associativity gives us parallelizability. But what does commutativity give?
在具有例如 4 周期延迟、每时钟 2 次吞吐量 FMA 的机器上，SIMD 宽度为 8 个浮点数，即具有 AVX2 的 Skylake 系统，潜在加速为 4*2 = 8 来自多个累加器，* 8 从 SIMD 宽度乘以内核数，与纯顺序版本相比，即使对于它可能不太准确而不仅仅是不同的问题。
大多数人认为8*8 = 64 值得！ （理论上，您还可以在四核上并行化另一个可能为 4 的因子，假设对大型矩阵进行完美缩放）。
您已经在使用 float 而不是 double 来提高性能。
另请参阅Why does mulss take only 3 cycles on Haswell, different from Agner's instruction tables?，了解更多关于使用多个累加器隐藏 FMA 延迟以减少的信息，从而暴露 8 倍加速的其他因素。
另外，不要在最里面的循环中使用hadd。垂直求和，并在循环结束时使用有效的归约。 (Fastest way to do horizontal float vector sum on x86)。你真的很想避免让编译器在每一步都将你的向量提取为标量，这会破坏 SIMD 的大部分好处！除了 hadd 不值得用于 1 个向量的水平总和这一事实之外；它在所有现有 CPU 上花费 2 次随机播放 + 一个常规的 add。
【讨论】：
非常感谢您的明确回答！我会改变我的 hadd 实现，因为我不知道它有那种效果......以上是关于Simd matmul 程序给出不同的数值结果的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章