NP和co-NP有啥区别

Posted 2023-02-16

【中文标题】NP和co-NP有啥区别

【英文标题】：Whats the difference between NP and co-NPNP和co-NP有什么区别

【发布时间】：2013-06-07 10:34:12

【问题描述】：

我知道他们完全对应的意思是 NP - 完全是 NP 问题中最难的，而 co-NP-complete 是指 co-NP 问题中最难的，但两者之间有什么区别？我的教科书说“是与否是颠倒的”，这并没有给我留下太多线索。

【问题讨论】：

相关：math.stackexchange.com/questions/361422/why-isnt-np-conp

还有math.stackexchange.com/questions/2334429

【参考方案1】：

只是为了补充其他人所说的（因为我自己发现这令人困惑），NP = co-NP 的问题是询问是否每个决策问题都有一个“是”的答案可以检查多项式时间也有一个“否”的答案，可以在多项式时间内检查。

这有点令人困惑，所以举个例子：旅行商问题的决策形式（“给定一个图 G，G 中是否有一条长度为 L 或更短的路径至少访问每个顶点一次？”）是在 NP 中：如果我说“是的，有一条长度为 L 或更短的路径至少访问每个顶点一次”，我证明这一点的方法是给你一条长度为 L 或更短的路径，至少访问每个顶点一次，而您检查我的解决方案的方式是走我的路径，检查它是否至少到达每个顶点一次，并且它的长度是否为 L 或更短。这个问题在 NP 中，因为执行此检查需要多项式时间（即它很快）

这个问题的补充将是“给定一个图 G，G 中是否没有长度为 L 或更短的路径至少访问每个顶点一次？”对这个问题回答“否”与上面的问题基本相同。为了证明这一点，我会说“不，没有长度为 L 或更短的路径（双重否定会令人困惑）至少访问每个顶点一次。为了证明这一点，这里有一条长度为 L 或更短的路径可以访问每个顶点至少一次。因此，在 G 中没有长度为 L 的路径至少访问每个顶点一次是不真的。这就是人们说任何 NP 问题的补码在 co-NP 中时的意思。

那么，如果 NP = co-NP 意味着什么？这意味着如果问题在 NP 中（您可以轻松地检查“是”答案），它也在 co-NP 中（您可以轻松地检查“否”答案）。

（重申一下，我们不是在谈论问题的补码：我们已经知道 NP 问题的补码在 co-NP 中。我们在询问原始问题。）

但是对于旅行商问题，它是如何工作的并不明显：如果我说“不，在 G 中没有长度为 L 或更短的路径恰好访问每个顶点一次”，我将如何证明这一点？当答案是“是”时，我很容易向您证明这一点（只需给您路径，以便您自己检查）。但如果我的回答是“不”，就没有简单的方法（我们知道）来检查我是否正确。我只能说“相信我，我检查了所有这些”。发现 NP = co-NP 会令人惊讶，因为这意味着有一些我可以给你的证据，你可以快速检查并确认我是对的。 p>

【参考方案2】：

NP 是一类决策问题，有一个多项式时间算法可以在给定适当证书的情况下验证“是”实例。

CoNP 是一类决策问题，有一个多项式时间算法可以在给定适当证书的情况下验证“否”实例。

我们不知道 coNP 是否与 NP 不同。

对于coNP中的每个问题，NP中都有一个问题，反之亦然。例如，SAT 问题询问“是否存在使该公式评估为 True 的布尔赋值？”。 coNP 中的补码问题询问“是否所有布尔赋值都使该公式的计算结果为 False？”

【讨论】：

Co-NP 不一定是多项式可证明的，因为 Co-NP = NP

【参考方案3】：

当你想证明一个问题的难度时，你必须把它变成一个叫做决策问题的东西，这意味着一个“是/否”答案类型的问题。例如，在 Set Cover 中，我们可能会问 “我们能否仅使用 X 个子集覆盖所有元素？” 其中 X 是某个任意数字。我们可以证明这个问题存在于 NP 中，因为它的解决方案很容易验证；您提供 X 个子集，我检查是否所有元素都包含在多项式时间内。如果我们可以对决策问题有效地回答“是”，那么我们可以最小化 X，从而有效地解决整个 Set Cover 问题（从而证明 P=NP）。

Co-*（Co-NP，Co-NP-complete）专注于对补充决策问题回答“否”。例如，集合覆盖的补充决策问题将是“对于 X 个子集的每个组合，是否不可能覆盖所有元素？” 对这个问题回答“否”需要您提供一个反例 -例子。

总而言之：NP 关注的是某个决策问题的“是”答案。 Co-NP 关注的是对相同但互补的决策问题的“否”答案。

【讨论】：

你的意思是你使用同一个多项式验证器来回答这两个问题吗？一个检查证书是否是一个解决方案，另一个检查它是一个反例，因此是补充问题的解决方案？如果有，这个玩文字的目的是什么？

@Ahmad：我们没有，事实上也不能，使用同一个验证器来回答这两个问题。就像我们不确定 P = NP 一样，我们也不确定 NP = Co-NP。可以对“NP”回答“是”的多项式验证器可能无法轻松对补足决策问题回答“否”。

但是在您的示例中，这样的验证者似乎可以回答这两个问题。我希望您再添加一个示例，以表明对补语问题或任何其他问题回答“否”并不容易。

来自 Wikipedia on Co-NP：A decision problem X is a member of co-NP if and only if its complement X is in the complexity class NP 所以我认为，是的，可以使用同一个验证器来解决这两个问题。如果将NP改为Co-NP并取问题的补码，本质上是同一个问题。我认为 Co-NP 有助于表达这样一个概念：在不改变问题的定义（取补语）的情况下，对问题提供“否”的答案是多么困难。