为啥要在 NP 中分解，而不是在 P 中分解？

Posted 2023-02-16

【中文标题】为啥要在 NP 中分解，而不是在 P 中分解？

【英文标题】：Why is factoring in NP, but not in P?为什么要在 NP 中分解，而不是在 P 中分解？

【发布时间】：2013-12-03 03:54:24

【问题描述】：

因式分解：给定一个整数 N，找到整数 1

我知道素数测试在 P 中，但为什么不考虑因式呢？

这是我的算法：

For each a = 1 ... sqrt(N)
    if(N % a == 0)
        b = N/a
        add (a,b) to the result
    Endif
EndFor

这在 O(sqrt(N)) 中运行。

【问题讨论】：

输入的大小是表示它所需的位数，而不是输入的值。

obligatory Wikipedia reference

如果您真的问为什么密码学有效而 RSA 之类的东西如此难以破解，那么您就错过了 模 分解。

多项式时间素性测试算法与这个算法完全不同，顺便说一句。

@phoeagon 如果在 SO 上发布了一个解决 P vs NP 问题的 6 班轮，那不是很神奇吗？

【参考方案1】：

单个数值的输入大小，通过其二进制表示的长度来衡量。准确地说，输入数值n 的大小与log_2(n) 成正比。因此，您的算法在指数时间内运行。

例如，假设我们使用您的算法分解一个数字N。如果N 是素数，您必须至少测试sqrt(N) 因素。 （或者您也可以为此计算一个素数表，但它仍然不是线性的）。

无论如何，您测试sqrt(N) 次。但是问题的大小定义为S=log2(N)。所以我们有N=2^S。因此它是一个sqrt(2^S)=2^(S/2)，它是指数的。

【讨论】：

对不起，我仍然不明白为什么它是指数时间。所以，对于输入大小 N，它实际上是 2^N，你的意思是？

@Nayana 算法运行在 O(sqrt(2^n)) = 大约 O(1.414^n)，其中 n 是存储输入数 N 所需的位数（即 n = log2(N))。

@interjay 好的，知道了！输入大小非常小，因此与问题的大小相比，看似正常的时间也变成了指数:)

@phoeagon 我认为 Abhishek Bansal 之前所说的也有点道理。假设我们传递一个数组并尝试在数组中找到一个特定的数字。一个问题的运行显然是O(N)，但是问题的大小又是S=log2(N)，因为它是通过它的二进制表示的长度来衡量的？这种解释使每个多项式时间算法都呈指数级......

@Nayana 或尝试这样想。单个数值作为输入的问题很可能是一个数学问题，因此预计会操纵巨大的数字。此外，如果我们考虑到小于V 的值数组中的O(logV) 部分，那么我们必须进行替换。 O(NlogN) 的反函数并非微不足道，可能会引起混淆。此外，N 和NlogN 之间确实存在细微差别，但1、logN 和N 之间则不然。