有人可以向我解释为啥完美平方是 O(sqrt(n)) 的运行时间吗？

Posted 2023-02-25

【中文标题】有人可以向我解释为啥完美平方是 O(sqrt(n)) 的运行时间吗？

【英文标题】：Can someone explain to me the runtime of why Perfect Squares is O(sqrt(n))?有人可以向我解释为什么完美平方是 O(sqrt(n)) 的运行时间吗？

【发布时间】：2018-12-15 14:03:18

【问题描述】：

问题

给定一个正整数 n，找出和为 n 的最小完美平方数（例如，1、4、9、16，...）。

示例 1： 输入：n = 12 输出：3 解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2： 输入：n = 13 输出：2 解释：13 = 4 + 9。

建议的解决方案 (BFS)

def numSquares(self, n):
    if n < 2:
        return n
    lst = []
    i = 1
    while i * i <= n:
        lst.append( i * i )
        i += 1
    cnt = 0
    toCheck = n
    while toCheck:
        cnt += 1
        temp = set()
        for x in toCheck:
            for y in lst:
                if x == y:
                    return cnt
                if x < y:
                    break
                temp.add(x-y)
        toCheck = temp

    return cnt

这个特定的 BFS 如何在 O(sqrt(n)) 中运行？因为我在想的是找到正方形需要 O(sqrt(n))。因为有2个for循环，(for y in lst1取O(sqrt(n))，for x in toCheck取O(sqrt(n))，不应该是O(n)吗？？

【问题讨论】：

你可能需要记住结果以达到 O(sqrt(n)) 复杂度

【参考方案1】：

运行时间其实是Theta(n^(3/2))。根据Legendre's three-square theorem，对于整数a 和b，任何形式为4^a (8b + 7) 的整数都可以写成四个平方的和，而不是三个。让n 是这种整数。有小于n 的Omega(n) 数可以写成三个平方和，所以在while 循环的最后一次迭代中，toCheck 有Theta(n) 元素，lst 有Theta(n^(1/2))。

【讨论】：

美丽。我想知道这里是否会出现一些理论上的结果。