为啥哈希表平均具有恒定的访问时间？

Posted 2023-02-25

【中文标题】为啥哈希表平均具有恒定的访问时间？

【英文标题】：Why does hashtable have constant access time in average?为什么哈希表平均具有恒定的访问时间？

【发布时间】：2011-08-18 03:52:41

【问题描述】：

我不明白这个解释，如果 n 是哈希表中的元素数，m 是桶的总数，那么只有当 n 与 theta(n) 成正比时，哈希表的平均访问时间是恒定的。为什么一定要成比例？

【参考方案1】：

实际上 m 应该与 n 成正比。否则，例如，您可能只有 1 个桶，它就像一个未排序的集合。

更准确地说，如果 m 与 n 成正比，即 m = c * n，那么每个桶中的项目数将为 n/m = 1/c，这是一个常数。转到任何存储桶都是 O(1) 操作（只需计算哈希码），然后通过存储桶的搜索是恒定顺序（您可以对存储桶中的项目进行线性搜索，这将是一个常数）。

因此，如果 m = c * n，则算法的阶数为 O(1)。

举个相反的例子，假设我们有一个大小为 tableSize 的固定大小的表。那么每个桶中的预期项目数是 n/tableSize，它是 n 的线性函数。通过存储桶进行的任何类型的搜索对于一棵树来说充其量都是 O(log(n)) （我假设您没有在存储桶内粘贴另一个哈希表，否则我们对该哈希表有相同的参数），所以在这种情况下不会是 O(1)。

【讨论】：

添加到这个答案中，不仅当两者成比例，而且当元素的数量（n）小于或等于桶的数量（@ 987654322@)。否则我们会遇到O(1 + |k|) 的情况，其中 k 是第 k 个桶中的元素数。

这仍然是恒定的访问时间。如果 k 是常数，则 O(1 + |k|) = O(1)。

如果我们使用开放寻址来解决冲突，而不是像几乎所有哈希表分析所假设的那样链接，会怎样？即使 m 与 n 成正比，平均恒定访问时间是否仍然成立？

@DavidTitarenco，如果n <= m，那么n 仍然与m 成正比，如n = cm 其中c <= 1。

【参考方案2】：

冲突的可能性更高，因此必须扫描具有相同哈希键的项目列表的发生率也更高。

【参考方案3】：

访问时间是恒定的，因为访问是基于哈希值的计算，然后是不断查找以找到合适的存储桶。假设哈希函数在桶中平均分配项目，那么访问任何单个项目所需的时间将等于访问其他项目的时间，而与 n 无关。

恒定并不一定意味着恒定低。平均访问时间与散列函数的均匀分布和桶数有关。如果您有数千个项目均匀分布在少量存储桶中，那么您会快速找到存储桶，但随后会遍历存储桶中的许多项目。如果您的存储桶与项目的比例很高，但散列函数会在某些存储桶中而不是其他存储桶中放置更多项目，那么较大存储桶中项目的访问时间将比其他存储桶的访问时间慢。

【参考方案4】：

一个大小合理的哈希表，其中为您存储的每个元素都有足够的插槽和大量额外空间，哈希函数将负责选择插槽的大部分工作，并且在不同元素具有相同哈希的情况下很少发生冲突。一个非常拥挤的哈希表会有很多冲突，并且会降级为基本上线性搜索，其中几乎每个查找都是具有相同哈希的错误项目，您必须继续搜索正确的项目（哈希表一旦它选择了第一个槽，lookup 仍然必须检查密钥，因为它正在寻找的密钥可能在存储时发生了冲突。

决定hit-collision比率的正是项目数与散列大小的比率（即随机选择的插槽被填充的百分比）。

【参考方案5】：

严格来说，哈希表访问的平均时间复杂度实际上是Ω(n^1/3)。信息的传播速度不能超过光速，这是一个常数。由于空间具有三个维度，因此存储n 位数据要求某些数据位于距 CPU 大约 n^1/3 的距离处。

更多详情in my blog。

【讨论】：

对于纯粹的组合电路，这可能是一个问题（当我们使用 3-D 全息存储器时，这将是一个更大的问题），但现代计算机是顺序的：存在内部时钟保证所有内存访问都在相同的时间内执行。

@Jeff 是迂腐的，我认为我们只能在延迟（每个访问或时钟周期的周期）必须增加之前添加这么多内存。实际上，我认为我们在寄存器、L1-L3 缓存和主存储器的相对延迟中看到了距离的影响（尽管还有其他限制，如成本和热量）。

对我来说，将内存访问视为常量似乎类似于将字长操作视为常量——这是一种非常合理且有用的简化，但它在技术上忽略了多对数因素。当然，如果我们使用 64 位计算机，我们无论如何都不会看到这些因素，但理论上，如果我们使用针对问题规模优化的硬件，它们就会很重要。

我知道你来自哪里，你是绝对正确的，但我现在看到了问题。渐近算法复杂度分析（big-O/Ω/Θ 表示法）纯粹是理论上的。如果您正在谈论与原子、电子、微秒或空间（或任何形式的物理）相关的任何事物，那么大 O/Ω/Θ 符号在讨论中没有位置。任何理论哈希表查找都是O(1)，即使任何实现哈希表查找都可能花费任何时间。算法和算法的实现（以及它们运行的​​架构）位于完全不同的领域。

计算机科学家对“恒定时间”一词的使用是可以理解的深奥。在我们自己中间，我们理解它意味着 O(1)在理论意义上：从上面渐近地由一个常数函数界定。对于外部观察者来说，我们似乎在谈论现实世界的挂钟时间，而实际上我们并非如此。 Big-O/Ω/Θ 表示法是指一种无单位的抽象时间，仅对其他算法有意义。