可判定性和递归可枚举性

Posted 2023-02-25

【中文标题】可判定性和递归可枚举性

【英文标题】：Decidability and Recursive Enumerability

【发布时间】：2012-03-27 12:04:54

【问题描述】：

假设存在图灵机 M1、M2、M3，它们识别的语言分别是 L(M1)、L(M2) 和 L(M3)。以下语言 L = (M1, M2, M3) : L(M1), L(M2), 和 L(M3) 不相等 语言是可判定的吗？递归可枚举？还是两者都没有？

【问题讨论】：

也许重新定位到理论计算机科学？这是作业吗？

这不是“两个自动机等价”的问题吗？ NP难？

我认为图灵机等价问题表明语言必须是平等的？在这种情况下，它是不可判定的。在这个问题中，语言是不平等的。

【参考方案1】：

设 M_Mi,I 是一台机器，它在输入 I 上模拟运行其他机器 M_i 并返回 @987654322 @ if M_i 最终在I 处停止，否则永远循环。

设 M_∞ 是一个简单地永远循环的平凡机器。

那么，(M_Mi,I, M_∞, M_∞) 在 L iff M_i 在输入 I 时停止。

这将停止问题的可判定性降低为 L 的可判定性，因此 L 是不可判定的。

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接下来，我们来证明 L 不是递归可反枚举的。

假设L是递归可枚举的，所以存在图灵机M使得如果M_i, M_j, and M_k是三个各自语言不相等的图灵机，那么M最终会吐出三元组（M_i, M_j, M_k） .

现在让我们考虑对 M 进行修改，称为 M'，它是通过取 M 并将值 (M, M', M') 与 L(M') 相加来定义的。 要问的重要问题是 (M, M', M') 是否在 L 中？好吧，如果 (M, M', M') 在 L 中，那么 L(M) 一定不等于 L(M') （否则它不符合在 L 中的定义），所以 L(M)不得包括 (M, M', M') （因为这是我们所做的唯一修改）。相反，如果 (M, M', M') 不在 L 中，则 L(M) != L(M') （因为我们将那个牛肚添加到 L(M') 中），因此它必须在 L (M)，因为语言不一样。

因此，我们遇到了一个悖论，这意味着 M 不存在，因此 L 不是递归可枚举的。

【讨论】：

嗯...有趣。你会说这种语言 L 是递归可枚举的吗？

我更新了响应以解决递归可枚举的问题。这是一个非常有趣的问题:)

哦，你的解决方案很有趣，我学到了很多关于递归可枚举性和可判定性的知识。我很高兴你玩得开心。不过，我确实有一个问题，如果一种语言不是 RE，那不是自动意味着它是不可判定的吗？还是我错过了什么？

是的，你是对的。从技术上讲，我只需要证明它不是 RE，我只是一开始不知道该怎么做，并想确保它是不可判定的。

您的证明似乎适用于两台图灵机的类似问题。我想知道为什么教练用了三个？