DFA（确定性有限自动机）的定义中的“δ:Q×Σ→Q”如何解读？

Posted 2023-02-25

【中文标题】DFA（确定性有限自动机）的定义中的“δ:Q×Σ→Q”如何解读？

【英文标题】：How does "δ:Q×Σ→Q" read in the definition of a DFA (deterministic finite automaton)?

【发布时间】：2013-01-29 23:27:51

【问题描述】：

δ: Q × Σ → Q 用英语怎么说？描述 × 和 → 的含义也会有所帮助。

【问题讨论】：

DFA 中的 A 缩写代表 Automaton

这是一个 CS 理论问题，因此属于 cs.stackexchange.com（我认为它不属于 cstheory 的级别，因为这是非常基础的）。

【参考方案1】：

从Wikipedia引用很容易：

δ 是状态转换表：我会将“×”读作表，将“→”读作该表中的条目。

然后用自然语言：指定机器处于指定状态并看到定义的符号（Σ 的元素）将导致哪个状态（Q 的元素）。

【讨论】：

在您的 wiki 页面：a transition function (δ : Q × Σ → Q)，您将获得指向 function-wiki 的链接，× 用于 X × Y 笛卡尔积， → 用于映射。

【参考方案2】：

抱歉，如果条款不完全正确（英文）。大约 3 或 4 年前，我用不同的语言研究过自动机理论，因此这些术语可能并不完全准确。

δ 就像一个带有两个参数的偏函数，它将一个状态（该自动机的状态；Q 的元素）和一个“输入动作”（Σ 的元素，它是自动机接受的字母表*）作为输入，并产生自动机在提供输入动作后应该具有的新状态。

基本上可以这样理解：

定义在 Q 组自动机状态和 sigma 字母表上的 delta 转移函数

公式中的 × 表示状态和动作集的 Cartesian product，而 → 表示函数返回的内容属于它后面的集合（在您的情况下为 Q）。

*不要与自动机接受的语言相混淆，这将是所有具有有效转换的“输入动作”序列（即定义了 δ(stateX, input)）并引导自动机进入最终的“可接受”状态。

【讨论】：

如果您发现需要纠正或需要更多信息的地方，请发表评论 :)

为什么δ是偏函数？如果它是 NFA，我会同意（某种程度上，这将是一个关系），但 DFA 不是强制 Σ 中的“输入状态”和“输入动作”的每个组合都具有定义的输出状态吗？我认为如果没有定义特定的转换，那么它必然只是 NFA 而不是 DFA。

如果 δ 是偏函数，则 DFA 是不完全 DFA。如果它是一个完整的函数，那么 DFA 是完整的。 NFA (afaik) 之间的区别在于，在 NFA 的情况下，δ 函数产生 Q 的子集的值，并且当向自动机提供输入时，该输出子集中的任何元素都可以选择为下一个状态 (非确定性的）。通常所有元素都被认为是下一个状态，扩展的 δ 定义为 δ:P(Q)×Σ→P(Q)，P(Q) 是 Q 的子集的集合。cgi.csc.liv.ac.uk/~pwg/COMP218/Notes/note1up2.pdf

@DPenner δ ⊆ Q×Σ → Q 表示 δ 是 Q×Σ → Q 映射和部分函数的子集，请阅读我的答案。 for example: read this Complement DFA

虽然 OP 没有说 ⊆ 或 P(Q)，只是一个简单的 δ:Q×Σ→Q 这让我相信他们的定义是一个完整的函数。我用谷歌搜索了它，here 它暗示（在问题 21 中）不完整的 DFA 是 NFA 的一种。但是，看起来在这个主题上并没有 100% 的共识。尽管从不完整的 DFA 转换为完整的 DFA 是微不足道的，但这并没有真正的实际区别。谢谢，不过我从来没有听说过它的信息！

【参考方案3】：

δ 就像a mathematical function 称为转换函数。就像是。

z = f(x, y) 

数学中的函数定义了一个集合中的元素到另一个集合的映射。在函数中，一组输入参数被称为函数的域，输出是愤怒的。

[回答]   

在表达式"δ:Q×Σ → Q"，

×表示笛卡尔积（即一个集合），→是一个映射。"δ:Q×Σ → Q" 表示δ 是一个转换函数，定义了从Q×Σ 到Q 的映射。 其中，δ 的域为Q × Σ，范围为Q。

注意：Cartesian Product 本身是一个数学，表示两组之间所有可能的顺序对（映射）。

你也可以说：

δ 是一个转换函数，它定义了状态集Q 和语言符号Σ 的笛卡尔积到状态Q 集之间的映射（或者说关联）。这被缩写为δ：Q×Σ→Q

这里，Q 是有限的状态集，Σ 是有限的语言符号集。

此外，在任何自动化中，您都可以以树状方式表示转换函数。 1.Transition Table 2.Transition graph或者说状态图。 3. 转换函数：一组有限的映射规则。例如δ(q0, a) → q1, δ(q1, a) → q2_{出于同一目的定义映射}

在 DFA 中。 δ:Q×Σ → Q 也可以写成δ(Q,Σ) → Q 类似函数。在δ 函数中，两个输入参数是状态 Q 和一个语言符号 Σ，返回值是 Q。

δ(Q,Σ) → Q是什么意思

假设在你的 转换函数 δ 集合中有一个元素 δ(q0, a) → q1 这意味着。 如果当前状态是q0，那么通过使用a 符号，您可以切换到状态q1。还有δ(q0, a) → q1 的状态图：

(q0)---a---►(q1)  

和转换表是：

+----+----+
|Q\Σ | a  |
+----+----+
| q0 | q1 |
+----+----+

所有定义映射(q0, a) to (q1)。

一些作者在正式的 DFA 定义中写了δ ⊆ Q×Σ → Q，这意味着δ 是Partial function（未在完整的域Q×Σ 上定义）。我们总是可以在有时需要的完整域上定义δ，例如查找补码 DFA。 在这里（Complement DFA），我为同一种语言编写了两个 DFA，一个是部分 DFA，另一个是补充 DFA。

【讨论】：

我正在考虑为 GATE 做准备。需要一些教科书建议，你能帮我吗？

@ArupRakshit for toc 我建议some books here 只是阅读书籍并选择过去 10-15 年的门论文。

你能推荐一下subjects的教科书吗？你从哪所大学读过M.Tech？

@ArupRakshit 不是针对每个主题，而是针对some subjects I am pretty confident

【参考方案4】：

从 cue cross sigma 到 cue 的增量

或

转换函数 delta 将有序的状态对和输入符号 cue cross sigma 映射到状态 cue。

【讨论】：

为什么用“eeh”代替“Sigma”？

@MikeSamuel 好点，不完全确定我为什么写“eeh”。当然是“西格玛”。我想我最近读到了一些没有使用标准符号的东西。修改...