如何在matlab中一次取两个以上矩阵的外积？

Posted 2023-02-23

【中文标题】如何在matlab中一次取两个以上矩阵的外积？

【英文标题】：How to take outer product of more than two matrices in one shot, in matlab?

【发布时间】：2012-12-30 15:00:05

【问题描述】：

我想计算y = a⊗a⊗a，其中a 是一个n×1 向量，⊗ 是outer product operator。在这种情况下，y 应该是一个 n×n×n 张量。

如果y = a⊗a，那就简单了。我只是这样做：

y = a * a' 

但是在第一种情况下该怎么办？如果有两个以上的向量，我如何在 MATLAB 中有效地计算这个外积？

【问题讨论】：

我不明白你想计算什么。是y = a x a x a吗？如果是这样，当其中一个操作数是矩阵时，外积是如何定义的？

是的，我想计算 y = a x a x a。或者更高阶的，例如 y = a x a x a x a x a。

【参考方案1】：

在y = u⊗v 的多维（张量）情况下，我认为您需要像这样移动第二个操作数的维度：

v_t = permute(v, circshift(1:(ndims(u) + ndims(v)), [0, ndims(u)]));

然后将它们与bsxfun相乘：

y = bsxfun(@times, u, v_t);

正则矩阵乘法只针对向量和二维矩阵定义，所以我们不能在一般情况下使用它。

另外请注意，如果第二个操作数是一维向量，此计算仍然会失败，因为 ndims 为向量返回 2 而不是 1。为此，让我们定义我们自己的计算维度的函数：

my_ndims = @(x)(isvector(x) + ~isvector(x) * ndims(x));

要完成答案，您可以定义一个新函数（例如。一个匿名函数），如下所示：

outprod = @(u, v)bsxfun(@times, u, permute(v, circshift(1:(my_ndims(u) + my_ndims(v)), [0, my_ndims(u)])));

然后根据需要多次使用它。例如，y = a×a×a 的计算方式如下：

y = outprod(outprod(a, a), a);

当然，您可以编写一个更好的函数，该函数采用可变数量的参数来节省您的打字时间。大致如下：

function y = outprod(u, varargin)
    my_ndims = @(x)(isvector(x) + ~isvector(x) * ndims(x));
    y = u;
    for k = 1:numel(varargin)
        v = varargink;
        v_t = permute(v, circshift(1:(my_ndims(y) + my_ndims(v)),[0, my_ndims(y)]));
        y = bsxfun(@times, y, v_t);
    end

我希望我算对了！

【参考方案2】：

您也可以使用kron 函数：

kron(a * a', a)

或者当需要四个外（克罗内克张量）产品时：

kron(kron(a * a', a), a)

等等。最后一个给你一个 m x n 矩阵，其中 m = n * n * n。

如果产品需要添加尺寸，您可以使用reshape 函数：

reshape(kron(a * a', a), [n, n, n])

或

reshape(kron(kron(a * a', a), a), [n, n, n, n])

等等。最后一个给你一个 n x n x n x n 张量。

【参考方案3】：

在a previous solution 中使用kron 的问题在于它会丢弃外积的规范索引。

相反，ndgrid 非常适合这种情况：

a = [1; 2; 3];
b = [4; 5];
c = [6; 7; 8; 9];

[xx, yy, zz] = ndgrid(1:length(a), 1:length(b), 1:length(c));

% desired outerproduct
M = a(xx) .* b(yy) .* c(zz);

在纸面上，我们可以检查所需的解决方案M 是数据立方体：

M(:,:,1) = | M(:,:,2) = | M(:,:,3) = | M(:,:,4) = 
           |            |            |
24    30   | 28    35   | 32    40   | 36    45
48    60   | 56    70   | 64    80   | 72    90
72    90   | 84   105   | 96   120   | 108   135

使用克罗内克乘积法

M2 = reshape(kron(a * b', c), [length(a), length(b), length(c)]);

我们会得到：

M2(:,:,1) = | M2(:,:,2) = | M2(:,:,3) = | M2(:,:,4) = 
            |             |             |
24    36    | 64    84    | 30    45    | 80   105
28    48    | 72    96    | 35    60    | 90   120
32    56    | 72   108    | 40    70    | 90   135

Datacube M2 具有与M 相同的元素，但这些元素被重新排列。这是因为kron(a * b', c) 在连续块中不包含M 的切片，以便于直接应用reshape 函数。要以这种方式计算外积，我们需要对kron(a * b', c) 的元素应用重排操作/函数（可确定，但繁琐且耗时）。

使用ndgrid 的另一个优点是它很容易泛化到更高阶。