是否有用于查找复杂多边形的凸包的线性时间算法？

Posted 2023-02-14

【中文标题】是否有用于查找复杂多边形的凸包的线性时间算法？

【英文标题】：Is there a linear-time algorithm for finding the convex hull of a complex polygon?

【发布时间】：2011-03-23 11:22:46

【问题描述】：

我知道有一个最坏情况 O(n log n) 算法可以找到复杂多边形的凸包，还有一个最坏情况 O(n) 算法可以找到简单多边形的凸包。是否有最坏情况的 O(n) 算法来找到复杂多边形的凸包？

复杂多边形是线段可能相交的多边形。求一个复多边形的凸包，就相当于求一个无序列表的凸包。

【参考方案1】：

我很确定不是。可以证明任意点集上的凸包等价于排序。我们可以对任意点集进行排序，然后将这些点按顺序连接成一个复杂的多边形，从而减少任意点集的问题。

这是一个指向proof 的链接，凸包相当于排序。我太懒了，打字员也太糟糕了，不能自己写出来。

【讨论】：

证明依赖于排序至少需要 O(n log n) 的想法。但是，这仅适用于基于比较的排序。由于点是整数或浮点数，因此我们可以使用比简单比较更多的操作。特别是，基数排序可以在 O(n) 时间内对点进行排序。

【参考方案2】：

一般来说，不存在 O(n) 解决方案。有一个比 O(n log n) 更好的像素化版本。然而，它在其他方面是如此的笨拙，以至于你在实践中使用它会很疯狂。

您将第一个多边形（使用顶点 0、1、2）渲染到屏幕空间，然后使用不同的 ID 重新渲染顶点本身，以便以后可以识别它们。例如，您可以将帧缓冲区清除为 RGBA ffffffff 并将 fffffffe 用于凸包覆盖的空间。每个顶点将使用其 ID 作为其 RGBA 进行渲染； 00000000、00000001等

16 位示例：

fffffffffffffff
fffffff0fffffff
ffffffeeeffffff
fffffeeeeefffff
ffffeeeeeeeffff
fffeeeeeeeeefff
ff2eeeeeeeee1ff
fffffffffffffff

检查新点是在当前帧缓冲区中进行的简单查找。如果它占据的像素被多边形或顶点ID“着色”，则新顶点被拒绝。

如果新顶点在现有多边形之外，您会在新顶点和凸包内的某个点之间找到第一个像素（第一个多边形中间的某个点可以正常工作）并沿着包的圆周行进 -在两个方向上 - 直到你发现自己在新顶点的船体远端。 （我将把这个作为练习留给用户。从效率的角度来看，有很多解决方案都很糟糕。）填充由这两个点定义的多边形和带有多边形空间 ID 的新顶点 - 小心不要擦除任何顶点 ID - 并继续下一个像素。

完成后，任何包含顶点 ID 且未被外壳 ID 完全包围的像素都是凸外壳顶点。

虽然该算法的复杂度是 O(n) 与顶点的数量，但它的缺陷是显而易见的。 没有人会使用它，除非他们有一个荒谬、疯狂、惊人的点数要处理，这样几乎每个顶点都会被立即拒绝，除非他们可以接受别名结果的限制.

朋友不要让朋友实现这个算法。

【讨论】：

听起来当算法添加一个顶点时（它必须做 O(n) 次），它必须沿着船体的圆周行进到目前为止（这需要 O(n)时间）。这不是 O(n**2) 吗？也许我误解了算法。

不。圆周受帧缓冲区大小的限制，其遍历的复杂性不受其中顶点数量的影响——仅受其包含的像素数量的影响。跟踪具有 3 个顶点和 3,000,000 个顶点的相同大小的帧缓冲区需要相同的时间。

@user30997：我明白了。如果我们将帧缓冲区的大小（以像素 (p) 为单位）视为变量而不是常数，那么 n 和 p 的时间复杂度是多少？

如果 n 是顶点数并且帧缓冲区是 p 边上的像素，那么考虑到你可以对凸包的圆周进行的最长遍历是 2p，你有一个复杂性2np。 n 独立于 p，给出 O(n) 的 Big-O 时间复杂度。但是，每次操作的成本非常高，因此该算法仅对一小部分应用程序有用。这在算法中并不少见：例如，考虑一下“几乎排序”的列表，您知道没有一个项目与多于一个位置的位置不同。排序复杂度为 O(n)。

【参考方案3】：

如果您的点集使得某些非基于比较的排序机制（如基数排序）比基于比较的方法更快，那么您似乎可以使用格雷厄姆扫描算法 (http://www.math.ucsd.edu/~ronspubs/72_10_convex_hull.pdf) 来计算它。 Graham 扫描的时间复杂度主要由排序步骤决定。其余的是线性的。

【参考方案4】：

如果您的点来自有限宇宙（实践中总是如此），您可以进行基数排序，然后运行 ​​Andrew 的单调链算法。