找到所有可能的方法来连接一个断开的无向图，并为每种可能性计算从 src 到目的地的最短路径

Posted 2023-02-22

【中文标题】找到所有可能的方法来连接一个断开的无向图，并为每种可能性计算从 src 到目的地的最短路径

【英文标题】：find all possible ways to connect a disconnected undirected graph and calculate shortest path from src to destination for each possibility

【发布时间】：2016-09-01 05:58:13

【问题描述】：

在这个问题中，您将得到一个无向图，该图是不连接的，并且是具有每个顶点之间距离的二维矩阵。我试图找到所有可能的方法来从这个状态创建一个连接图，然后为每个可能的组合计算从顶点 0 到顶点 1 的最短路径的距离。顶点 0 被选为源顶点，所有具有到顶点 0 的路径的顶点都被认为是连接的，而所有没有到顶点 0 的路径的顶点都是不连接的。我正在尝试使用 BFS 查找所有可能的路径，但使用动态编程进行优化，但无法弄清楚子问题和数据结构应该是什么。

例如，给定此图，其中 V = 0,1,2 和 adj 矩阵（第一个）以及每个矩阵之间的距离（第二个）：

  0 1 2          0 1 2
0 0 0 0        0 0 3 4
1 0 0 1        1 3 0 1
2 0 1 0        2 4 1 0

由于顶点 1 和 2 不相连，如果我将 0 连接到 1，则最短路径的长度将为 3。如果我将 0 连接到 2，则从 0 到 1 的最短路径将为 4+1。这两种情况的可能性相同。

什么是子问题，我应该如何解决这个问题？

【问题讨论】：

我不明白这两个矩阵是如何组合在一起的。在我看来，顶行和左列表示顶点，不属于矩阵。但是为什么矩阵中只有三个顶点呢？您在上面提到了四个顶点。我并不完全清楚您的优化目标是什么。首先，您写下您想要所有的连接方式。然后你写你想要优化。您真的想要所有可能性还是只想要一个最符合标准的可能性？

【参考方案1】：

将连接的组件折叠成多图的单个顶点（多条边可以连接两个顶点的图）。使用任何回溯搜索来枚举多重图的所有生成树。

这个任务的不可约复杂度是 K!，其中 K 是连接组件的数量。

使用传递闭包算法计算连通分量。