将矩阵扩展为块矩阵 - 索引问题

Posted 2023-02-22

【中文标题】将矩阵扩展为块矩阵 - 索引问题

【英文标题】：Expanding matrix into block matrix - indexing issue

【发布时间】：2016-07-28 23:57:29

【问题描述】：

我希望以两种方式扩展矩阵，但我不知道它的代码； 我不寻求确切的代码，而只是在文献中查找的指针。 下面的问题涉及量子力学中换向器方程的线性化，我从物理学的角度了解理论，但我不知道我的问题在编程世界中的名称。

我有一个矩阵 A，它是 NxN 矩阵，对于这个例子，让 N=3；所以A是：

A=[a11 a12 a13
   a21 a22 a23
   a31 a32 a33] 

我希望制作一个大小为 N^2xN^2 的矩阵 B。 B 有块形式：

B=[A11 A12 A13
   A21 A22 A23
   A31 A32 A33]   

A11=[a11 0 0
     0 a11 0    ...
     0 0   a11]

B 中的每个块元素都是 NxN 矩阵，每个块通过属性 A11=a11*eye(3,3) 链接，依此类推 (so (B(I,J)=A(i,j)*eye (3,3)))。

我的问题是我不知道如何构造这样一个循环，从 A 中的每个元素制作临时 3x3 矩阵很容易，但我不知道如何在 B 中堆叠这些块（如何索引B 中的职位）。

我想形成的另一个矩阵也是 N^2xN^2 矩阵，它更简单：

C=[A 0 0
   0 A 0
   0 0 A]

它是由 A 组成的块对角矩阵。我想我可以设法找到它的代码（matlab 中有 blkdiag 函数）。

我想要 C++ 和 matlab 中的解决方案。 问题是如何将块堆叠成 N^2xN^2 矩阵以及我需要使用多少个循环。 我想要最好的计算方法。

我的想法是做这样的事情：

for i=1:N
    for j=1:N
        for k=1:N
          B(i*N+j-N,j+k*N-N)=A(i,k);
          C(i*N+j-N,k+i*N-N)=A(k,j);
        end
    end
end

这非常有效（在 C++ 中，B(?,?) 和 C(?,?) 索引中没有 -N）），但是是否可以使用 2 个 for 循环来做到这一点？

【参考方案1】：

我建议使用“Kronecker”产品，也称为“张量产品”。 matlab 函数已经可用“kron”。您只需构建矩阵：

A=[a11 a12 a13;
   a21 a22 a23;
   a31 a32 a33] ;

然后做kron产品

B = kron(A,eye(3));

因此，“B”就是你要找的结果，不需要任何循环。

对于“C”的值，只需切换“kron”函数的2个输入

C = kron(eye(3), A);

【讨论】：

这太棒了，非常感谢，在理论评论中提到了 Kronecker，但我并没有真正理解它的含义（论文只是给出了公式，没有太多解释）。我假设 C++ 中存在类似的功能（我必须在 C++ 中执行此操作），明天我将查看库。非常感谢。

Kronecker 产品是线性代数中一个非常强大的工具。我敢打赌，有很多内置 kronecker 函数的库。

@AleksandarDemić 可能对这篇文章感兴趣：***.com/questions/4938887/…