较大矩阵中的最大相等子矩阵

Posted 2023-02-22

【中文标题】较大矩阵中的最大相等子矩阵

【英文标题】：Largest equal submatrices in bigger matrix

【发布时间】：2014-03-19 00:24:39

【问题描述】：

假设您有一个高度为 h 和宽度为 w (h,w

【问题讨论】：

等于表示子矩阵中的每个元素都相同？

矩阵中元素的类型呢？这些数字是数字还是可以是字符/字符串？

子矩阵应该是最大的吗？如果没有，那很容易，你可以检查是否有两个元素具有相同的项目。

@notbad 在标题中，但不在问题文本中

子矩阵是否需要不重叠？

【参考方案1】：

有一种算法比 O(w²h²) 更好。让我们先考虑一个更简单的版本。给定一个只有小写字母的矩阵M，找出矩阵中的最大子串。这个问题等于在M[0]$1M[1]...M[w-1] 中找到longest common substring，我们在M[i] 和M[i+1] 之间添加不同的特殊字符。使用suffix array，最长公共子串问题可以在线性时间内解决，对于这种情况，它可以在 O(wh) 中解决。

对于最大子矩阵问题，可以通过枚举所有可能的高度 ll 的两个子串的字典序可以继承自高度l-1。

正如@Niklas B 解释的那样。在第一次迭代中，我们使用后缀数组对矩阵的行后缀进行排名。然后在第二步中，我们使用基数排序并重用在第一次迭代中计算的排名，对相邻 2 行组合的后缀进行排名。第三步，我们对相邻 3 行的后缀等进行排序。我们还可以为每次迭代维护LCP arrays，这样我们就可以使用单次遍历找到出现两次的最长子字符串。

总的来说，这个算法是O(h²w)的线性时间后缀数组构造算法。

【讨论】：

对不起，我的英语不好，你能看懂第一部分吗？

是的，我开始明白你说的第二段是什么意思了，但是有点难以理解。

我现在明白了。非常酷的想法，但仅从您的回答就真的很难理解：/

是的，所以在第一次迭代中，我们使用后缀数组对矩阵的行后缀进行排名。然后在第二步中，我们对相邻 2 行组合的后缀进行排名，可能使用基数排序与第一次迭代的排名。第三步，我们对相邻3行的后缀等进行排序。这样对吗？

当然，随意。为您 +1，这绝对是一个更好的解决方案，OP 应该考虑接受这个

【参考方案2】：

你可以在O(hw)中枚举所有向量(-h 。对于每个这样的向量，将矩阵转换为向量 (dh, dw) 并从原始矩阵中减去转换后的矩阵。在它们重叠的范围内，您想找到面积最大的零矩形。您可以使用a linear time algorithm 来执行此操作。

运行时间：O(w²h²)

更实用的方法是散列所有子矩阵并以这种方式检查重复项。这将具有相同的预期运行时间。

【讨论】：

h,w

@JuanLopes：我不知道，据我估计它可能会在一分钟内运行。在比赛中这肯定会太慢，但也许不是那种问题

我在比赛之外没有看到很多像“高 h 宽 w (h,w

@Juan Me 也没有。看看是否有这个的二次算法会很有趣

关于散列子矩阵的想法似乎对我的问题有好处，但我不知道如何散列它。