从平面方程生成点网格的算法[关闭]

Posted 2023-02-22

【中文标题】从平面方程生成点网格的算法[关闭]

【英文标题】：Algorithm to generate a point grid out of a plane equation [closed]

【发布时间】：2013-08-28 11:39:15

【问题描述】：

我在 3D 空间中有一个平面方程：ax + by + cz + d = 0我想用规则分布的点从平面上的特定点在给定半径内填充这个平面。在我看来，应该有一个数学上的优雅答案，但我看不到它。用 C++ 或伪代码回答会更好。

【问题讨论】：

请提供一个例子，你已经尝试过什么，以及你具体遇到的问题。这不是“为我的规范提供代码”网站

一个给定的半径是什么？飞机上的特定点？没有这些信息，这个问题就没有多大意义。

@Save：对。平面上特定点的给定半径。

提示：在你的平面中选择两个正交向量。您现在可以将这些用作转换矩阵，将 x-y 平面中的点带入您的平面。

@nyarlathotep：我不知道该怎么做...我现在看到的唯一解决方案是在平面上选择两个极值点，在它们之间迭代并从其中切出一个半径...

【参考方案1】：

我假设您有一个相当不错的 3d 矢量类，并在答案中将其称为 vec3。您需要的第一件事是平面中的矢量。在给定法线平面方程的情况下，有几种方法可以生成一个，但我更喜欢这个：

vec3 getPerpendicular(vec3 n)

  // find smallest component
  int min=0;
  for (int i=1; i<3; ++i)
    if (abs(n[min])>abs(n[i]))
      min=i;

  // get the other two indices
  int a=(i+1)%3;
  int b=(i+2)%3;

  vec3 result;
  result[i]=0.f;
  result[a]=n[b];
  result[b]=-n[a];
  return result;

这种构造保证 dot(n, getPerpendicular(n)) 为零，这是正交性条件，同时还保持向量的大小尽可能高。请注意，将具有最小幅度的分量设置为 0 还可以保证您不会得到 0,0,0 向量，除非这已经是您的输入。在这种情况下，你的飞机会退化。

现在让你的基向量在平面上：

vec3 n(a,b,c); // a,b,c from your equation
vec3 u=normalize(getPerpendicular(n));
vec3 v=cross(u, n);

现在您可以通过缩放 u 和 v 并将其添加到您在飞机上获得的向量来生成您的点。

float delta = radius/N; // N is how many points you want max in one direction
float epsilon=delta*0.5f;

for (float y=-radius; y<radius+epsilon; radius+=delta)
   for (float x=-radius; x<radius+epsilon; radius+=delta)
      if (x*x+y*y < radius*radius) // only in the circle
          addPoint(P+x*u+y*v); // P is the point on the plane

epsilon 确保您的点数是对称的，并且您不会错过极端情况下的最后一点。

【讨论】：

你能解释更多getPerpendicular()吗？我不明白你在做什么......（我什至认为最后有什么问题......）

正交向量的条件是dot(a,b)==0。您始终可以通过将一个分量设置为零、交换其他两个分量并反转其中一个分量的符号来构造这样的向量。这样一来，在点积方程中，一个乘积为零，而另外两个乘积相互抵消。请注意，您交换的两个组件之一应该是非零的，否则您的结果将是 0,0,0（这在技术上垂直于一切，但在这里没用）

例如，如果你有一个向量 x,y,z - 向量 0,z,-y 总是垂直的，因为 0*x+yz-yz 是总是 0。

那么不应该是result[a] = n[b]; result[b] = -n[a];吗？

是的，我搞砸了，抱歉 - 会修复