计算几何：在镜子上旋转、平移或反射后找到三角形的位置

Posted 2023-02-22

【中文标题】计算几何：在镜子上旋转、平移或反射后找到三角形的位置

【英文标题】：Computational geometry: find where the triangle is after rotation, translation or reflection on a mirror

【发布时间】：2010-04-30 15:45:12

【问题描述】：

我有一个小竞赛问题，其中给出了一组点，在 2D 中，形成一个三角形。这个三角形可以进行任意旋转，可以进行任意平移（都在 2D 平面中）并且可以在镜子上进行反射，但其尺寸保持不变。 然后，他们给了我平面上的一组点，我必须在一个或多个几何运算之后找到构成我的三角形的 3 个点。

例子：

5 15
8 5
20 10
6
5 17
5 20
20 5
10 5
15 20
15 10
Output:
5 17
10 5
15 20

我打赌它应该应用一些已知的算法，但我不知道是哪个。最常见的有：凸包、扫掠平面、三角剖分等。

有人可以给小费吗？我不需要代码，只需要一个推送！

【问题讨论】：

仅供参考，这与数学比编程更相关，不确定它是否真的属于这个网站

【参考方案1】：

三角形由其三个边的长度唯一定义（忽略旋转、翻转和平移）。标记原始三角形 A、B、C 的顶点。你在找 对于点 D,E,F 使得 |AB| = |德|, |交流| = |DF| 和 |BC| = |EF|。长度由毕达哥拉斯公式给出（但您可以通过比较在每次测试中保存平方根运算 线段长度的平方...)

【参考方案2】：

给定的三角形由三个长度定义。您想在列表中找到恰好被这些长度分隔的三个点。

对给定的长度求平方，以免打扰sqrt。

求列表中每对点之间距离的平方，只记下那些与给定长度重合的点：O(V^2)，但系数较低，因为大多数长度不匹配。

现在你有一个带有 O(V) 边的稀疏图。在 O(V) 时间内找到每个大小为 3 的循环，并修剪匹配项。 （不确定最好的方法，但 here is one way 带有适当的 big-O。）

总复杂度：O(V^2)，但在 O(V) 中找到循环可能是限制因素，具体取决于点数。对点列表进行空间排序以避免查看所有对应该改善渐近行为，否则。

【讨论】：

非常好用且易于理解！

【参考方案3】：

这通常使用矩阵数学来完成。 This Wikipedia article 涵盖了旋转、平移和反射矩阵。这是another site（附图片）。

【参考方案4】：

由于变换只是旋转、缩放和镜像，那么你可以通过检查三角形两侧的点积来找到形成变换三角形的点：

对于原三角形A、B、C，计算AB.AC、BA.BC、CA.CB的点积 对于每组 D、E、F 三个点，计算 DE.DF 的点积并与 1 中找到的三个点积进行比较。

这工作自 AB.AC = |AB| x |交流| x cos(a)，两个长度和它们之间的角度定义了一个三角形。

编辑：是的，Jim 是对的，仅仅一个点积是不够的，你需要做所有三个，包括 ED.EF 和 FD.FE。所以最后，这个方法的计算次数与平方距离方法的计算次数相同。

【讨论】：

我认为这还不够。 P dot Q = R dot S 并不一定意味着|P| = |R|或 |P| = |S|。