连续对数运算：游程编码项上的下限运算符

Posted 2023-02-22

【中文标题】连续对数运算：游程编码项上的下限运算符

【英文标题】：Continued logarithm arithmetic: floor operator on run-length encoded terms

【发布时间】：2017-11-11 22:54:42

【问题描述】：

我正在尝试在 Bill Gosper 的 continued logarithms 上实现基本算术，这是连分数的“突变”，允许术语协同例程即使在非常大或非常小的数字上也能发出和使用非常小的消息。

Gosper 至少以一元表示相当直接地描述了可逆算术，例如 +,-,*,/，但我很难实现模运算符，该运算符有效地从除法运算中截断信息。

我已经意识到模运算符主要可以用我已经拥有的操作来定义：

a mod b == a - b * floor(a / b)

让我唯一的问题是地板。

我还读到连续对数的行程编码格式有效地描述了

'... 剩余数的以 2 为底的对数的整数部分 描述。'

因此，立即产生第一项（通过）到目前为止会产生正确的输出，但仍有很大一部分有待确定，我认为这需要某种进位机制。

我编写了以下代码来测试输入项和预期的输出项，但我主要是在寻找实现 floor 背后的高级算法思想。

输出对的示例输入 (1234 / 5) 是

输入：[7, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 3, 1]

输出：[7, 0, 3, 1, 4, 2, 1, 1]

from fractions import Fraction

def const(frac):
        """ CL bistream from a fraction >= 1 or 0. """
        while frac:
                if frac >= 2:
                        yield 1
                        frac = Fraction(frac, 2)
                else:
                        yield 0
                        frac -= 1
                        frac = Fraction(1, frac) if frac else 0

def rle(bit_seq):
        """ Run-length encoded CL bitstream. """
        s = 0
        for bit in bit_seq:
                s += bit
                if not bit:
                        yield s
                        s = 0

def floor(rle_seq):
        """ RLE CL terms of the greatest integer less than rle_seq. """
        #pass
        yield from output

""" Sample input/output pairs for floor(). """
num = Fraction(1234)
for den in range(1, int(num)+1):
        input  = list(rle(const(num  / den)))
        output = list(rle(const(num // den))) # Integer division!
        print(">  ", input)
        print(">> ", output) 
        print(">>*", list(floor(input))) 
        print()
        assert(list(floor(input)) == output)

本着继续的精神，如何实施楼层算子？ 仅在必要时使用项来进行分数运算，并且 立即发出术语，尤其是仅使用运行长度 编码格式（二进制）而不是一元扩展 Gosper 倾向于描述。

【问题讨论】：

我没有标记这一点，因为我缺乏专业知识来确定某种方式，但您认为这作为数学堆栈交换中的一个问题可能更有意义吗？

@MaxvonHippel 我也不确定。我原本打算在那里发帖，但由于我提供的代码示例，我觉得在这里更合适。如果这里没有主题，请随意移动它。

我不确定这里的上下文是否非常重要（也就是说，代码块和您如何处理模数的解释）。我认为如果您只是指定您正在尝试使用这种特定的数学实现哲学来实现floor，我认为这个问题可能会更清楚，链接到本书（就像您所做的那样），然后给出输入/输出（就像您所做的那样）也许你的工作假设。因为您的问题实际上是关于floor，而不是modulo。

也就是说，就网站而言，我会说只是把它留在这里一段时间，看看那些比我更了解该主题的人如何回应。如果一致认为它应该在数学网站上，那么移动它；这对 SO 来说绝对不是一个坏问题，它可能是一个更好的数学问题。

【参考方案1】：

通过假设游程编码中的下一个系数是无限的，你可以得到一个下限。假设下一项为 1，就可以得到一个上界。

您可以简单地处理尽可能多的游程编码系数，直到您知道下限和上限都在半开区间 [N, N + 1) 中。在这种情况下，您知道连续对数的下限是 N。这类似于 Bill Gosper 在链接文档的开头所做的。

但请注意，此过程不一定会终止。例如，当您将 sqrt(2) 乘以 sqrt(2) 时，当然会得到数字 2。但是，sqrt(2) 的连续对数是无限的。要评估乘积 sqrt(2) * sqrt(2)，您将需要所有系数才能知道您最终会得到 2。对于任何有限数量的项，您无法确定乘积是否小于 2 或等于至少等于它。

请注意，此问题并非特定于连续对数，而是出现在任何系统中的基本问题，在该系统中，您可以有两个数的表示是无限的，但乘积可以用有限数量的系数表示.

为了说明这一点，假设这些协程输出的不是游程编码值，而是十进制数字，我们要计算 floor(sqrt(2) * sqrt(2))。经过多少步骤后，我们可以确定产品至少为 2？让我们取 11 位数字，看看会发生什么： 1.41421356237 * 1.41421356237 = 1.9999999999912458800169

正如您可能猜到的那样，我们任意接近 2，但永远不会“达到”2。事实上，在不知道数字的来源是 sqrt(2) 的情况下，数字可能会在该点之后终止并且乘积最终低于 2。类似地，所有后续数字可能都是 9，这将导致乘积略高于 2。

（一个更简单的例子是使用产生 0.9999 的例程...）

因此，在这些任意精度的数值系统中，您最终可能会遇到只能计算某个区间 (N - epsilon, N + epsilon) 的情况，在这种情况下，您可以使 epsilon 任意小，但绝不会等于零。不可能取这个表达式的底线，因为——通过所采用的数值方法——不可能确定实际值最终会低于还是高于 N。