k路三角形集交点和三角剖分

Posted 2023-02-22

【中文标题】k路三角形集交点和三角剖分

【英文标题】：k-way triangle set intersection and triangulation

【发布时间】：2013-01-30 21:59:32

【问题描述】：

如果我们有 K 组可能重叠的三角形，那么计算一组新的、不重叠的三角形的高效计算方法是什么？

例如，考虑这个问题：

这里我们有 3 个三角形集合 A、B、C，它们有一些相互重叠，我们希望得到不重叠的集合 A'、B'、C'、AB、AC、BC、ABC，例如AC 中的三角形将包含 A 和 C 之间完全重叠的曲面；并且 A' 将包含 A 的曲面，这些曲面不与任何其他集合重叠。

【问题讨论】：

我建议将其分为两个阶段：首先计算一组不重叠的多边形；然后根据需要对多边形进行三角剖分以获得三角形。后一个问题经过充分研究，网络上有很多资源。第一个问题并不常见，但我怀疑也有很多资源可以解决这个问题。您需要确定结果是否应包含不属于任何原始三角形但被原始三角形封闭的形状（例如通过将蓝色三角形向右移动一点形成的间隙）。

您基本上想找到联合多边形并对其进行三角测量。两者都可以使用扫描线算法完成。您也许可以将这些操作合并到一个通道中。

@VaughnCato 我不确定 union 是否是满足上述要求的正确运算符（需要保留身份）

【参考方案1】：

我（也）提出了一种两步法。

1.找出所有三角形边的交点。

正如 cmets 中所指出的，这是一个经过充分研究的问题，通常使用线扫描方法来解决。这里是very nice overview，特别看Bentley-Ottmann算法。

2。使用受约束的 Delaunay 进行三角剖分。

我认为@Claudiu 建议的多边形三角无法解决您的问题，因为它不能保证包含所有原始边缘。因此，我建议您查看Constrained Delaunay triangulations。这些允许您指定必须包含在三角剖分中的边，即使它们不会包含在不受约束的 Delaunay 或多边形三角剖分中。此外，还有一些实现允许您指定三角剖分的非凸边界，在该边界之外不会生成三角形。在您的情况下，这似乎也是一个要求。

实现受约束的 Delaunay 并非易事。然而，CMU 研究人员提供了一个有点过时但very nice C implementation 的工具（包括命令行工具）。有关此特定算法的理论，请参阅here。该算法还支持边界的规范。请注意，链接算法可以做的不仅仅是Constrained Delaunay（即质量网格生成），但它可以配置为不添加新点，这相当于Constrained Delaunay。

编辑参见 cmets 以了解其他实现。

【讨论】：

具有多种语言实现的受限 delaunay 求解器可在 BSD 许可下在 code.google.com/p/poly2tri

获得

【参考方案2】：

如果您想要一些更直接、实现更快、代码更少的东西...我建议您像过去使用的旧软件渲染算法一样做一些简单的polygon clipping（尤其是因为您是只处理三角形作为您的输入）。正如其他几个人简要提到的，它涉及在每个其他 segment 相交的点处拆分每个三角形。

三角形很容易，因为在给定平面上拆分三角形总是会产生 1 或 2 个新三角形（总共 2 或 3 个）。如果您的数据集相当大，您可以引入四叉树或其他形式的空间组织，以便在添加新三角形时更快地找到相交三角形。

当然，这会产生比建议的Constrained Delaunay 算法更多的多边形。但是其中许多算法在重叠形状方面表现不佳，并且需要您了解轮廓段，因此无论如何您都会做很多相同的工作。

如果需要更少的结果三角形，您可以在最后进行合并传递（在剪辑期间添加相邻信息以加快该部分的速度）。

无论如何，祝你好运！

【讨论】：

@jbaylina 哈！你是对的......对不起，我忘了在那里画一条线。但你明白了。 :)

@jbaylina 很好，我的桌面上还有图像...编辑了我的回复！谢谢你的收获。

对于那些必须在具有实时要求的应用程序中解决这个问题的人来说，@Mattingly 建议的方法已被证明对于小输入更可行

【参考方案3】：

您的示例是计算几何学所谓的“排列”的一个特例。 CGAL Library 具有广泛而有效的安排处理程序。如果您检查this part of the documentation，您会看到您可以声明一个空排列，然后插入三角形将二维平面划分为不相交的面。正如其他人所说，然后您需要对还不是三角形的面进行三角剖分。令人高兴的是，CGAL 还提供了执行此操作的例程。 This example of constrained Delaunay triangulation 是一个很好的起点。

CGAL 尝试使用可实现的最有效算法。在这种情况下，对于具有 n 个边（在您的情况下是三角形数量的 3 倍）和 k 个相交的排列，您似乎可以实现 O((n + k) log n)。该算法使用一种称为“扫描线”的通用技术。一条垂直线从左到右扫过，沿途计算和处理“事件”。事件是边缘端点和交叉点。随着每个事件的处理，排列的一个单元格被更新。

对于 n 个顶点，Delaunay 算法通常是 O(n log n)。有几种常见的算法，很容易在 CGAL 参考资料中查找或找到。

即使您不能在您的工作中使用 CGAL（例如，出于许可原因），文档中也充满了底层算法的来源：安排和受约束的 Delaunay 算法。

但请注意，由于浮点错误，安排和三角测量都很难正确实施。健壮的版本通常依赖于有理算术（在 CGAL 中可用）。

【参考方案4】：

为了扩展 Ted Hopp 的评论，这应该可以通过首先计算一个平面细分来实现，其中输出的每个有界面都与集合 A'、B'、C'、AB 中的一个相关联， AC、BC、ABC 或“无”。然后第二阶段是对每个集合中的（可能是非凸的）面进行三角剖分。

步骤 1 可以使用 Bentley-Ottmann 扫描线算法的变体在 O((N + K) log N) 时间内执行，其中当前集合作为算法状态的一部分进行维护。这可以从已经穿过的线段及其方向来确定。

一旦完成，每个集合的不相交多边形可以在 O(N log N) 时间内分解成单调片段，而这些片段又可以在 O(N) 时间内进行三角剖分。

如果您还没有阅读过，请阅读 de Berg 等人的“计算几何：算法和应用”。

【参考方案5】：

我可以想到两种方法。

更通用的方法是将您的输入视为一组行并将问题分成两部分：

多边形检测。取一组你的初始三角形制作的线，得到一组不重叠的多边形。 This paper 提供 O((N + M)^4) 方法，N 是线段数，M 是交叉点数，不幸的是，这似乎有点慢...... Polygon Triangulation。从步骤 1 中取出每个多边形并对其进行三角剖分。这需要 O(n log* n)，实际上是 O(n)。

另一种方法是做一个自定义算法。解决两个三角形相交的问题，将其应用于前两个输入三角形，然后对于每个新三角形，将算法应用于所有当前三角形和新三角形。不过，即使对于两个三角形，这似乎也不是那么简单，因为有几种情况（可能并不详尽）：

三角形的任何点都不在任何其他三角形中。
没有交叉路口 犹太明星 两个垂直的尖刺
一个三角形的一个点包含在另一个三角形中 每个三角形都包含另一个点 一个三角形的两个点在另一个三角形中 一个点的三个点在另一个点 - 一个完全包含

等等...不，这似乎不是正确的方法。无论如何都要留在这里以供后代使用。