找到 MST 的关键边：可以使用修改后的 Prim 算法吗？

Posted 2023-02-22

【中文标题】找到 MST 的关键边：可以使用修改后的 Prim 算法吗？

【英文标题】：Find critical edges of an MST: possible with modified Prim's algorithm?

【发布时间】：2014-12-31 00:54:34

【问题描述】：

我在寻找“关键边缘”问题的解决方案时遇到了这个问题。我已经解决的原始（C++）问题是：

考虑一个图 G=(V,E)。找出有多少条边属于所有 MST，有多少条边不属于任何 MST，有多少条边属于某些MST，但不属于全部。

让我们分别称“绿色”、“红色”和“黄色”为上述 3 种情况中的边缘。

在进行研究后，我遇到了Find all critical edges of an MST，它解决了这个问题。可以运行 Kruskal 算法的修改版本：如果两个或多个相同权重的边连接相同的组件，从而形成一个循环，那么所有这些都是黄色边，即可以包含在 MST 中（或不包含）的边.无可争议地选择的边缘是“绿色”，而在同一组件中创建循环的边缘是“红色”。这样，原来的问题就解决了。

上述算法的问题是它运行在O(|E| * log|V|)，这是Kruskal算法的运行时间（如果我错了请纠正我)。我正在考虑是否也可以使用 Prim 算法的修改版本，因为如果斐波那契堆是用过。

我的感觉是这里不能使用 Prim 算法的修改版本，因为我们必须根据递增权重迭代所有边；但是，我无法证明这一点。那么，有没有可能进一步降低这个问题的复杂度呢？

【参考方案1】：

这个问题比最小生成树的敏感性分析问题更容易，即确定在最小生成树发生变化之前，每棵树/非树的边可以增加/减少多少权重。最知名的 MST 敏感性分析算法似乎归功于 Seth Pettie (2005, arXived 2014)，运行时间为 O(|E| log alpha(|E|, |V|))。这非常接近最优（alpha 是逆阿克曼），但仍然是超线性的。已知几种具有线性预期运行时间的随机算法。