找到最大的连续和，使得它的最小值和它的补码最大

Posted 2023-02-22

【中文标题】找到最大的连续和，使得它的最小值和它的补码最大

【英文标题】：Find largest continuous sum such that the minimum of it and it's complement is largest

【发布时间】：2014-03-04 20:16:02

【问题描述】：

我得到了一个数字序列a_1,a_2,...,a_n。它的总和是S=a_1+a_2+...+a_n，我需要找到一个子序列a_i,...,a_j，使得min(S-(a_i+...+a_j),a_i+...+a_j) 是最大可能的（两个总和都必须非空）。

例子：

1,2,3,4,5 序列是3,4，因为那是min(S-(a_i+...+a_j),a_i+...+a_j)=min(8,7)=7（它是最大可能的，可以检查其他子序列）。

我努力做到这一点。

我将所有值加载到数组tab[n]。

我这样做n-1 次tab[i]+=tab[i-j]。所以tab[j] 是从开始到j 的总和。

我检查所有可能的总和 a_i+...+a_j=tab[j]-tab[i-1] 并从总和中减去它，取最小值，看看它是否比以前大。

需要O(n^2)。这让我非常难过和痛苦。有没有更好的办法？

【问题讨论】：

数字可以是负数吗？

不，都是正面的。

【参考方案1】：

似乎这可以在 O(n) 时间内完成。

计算总和S。理想的子序列和是最接近S/2 的最长子序列和。 从i=j=0 开始并增加j 直到sum(a_i..a_j) 和sum(a_i..a_j+1) 尽可能接近S/2。请注意哪个更接近并保存 i_best,j_best,sum_best 的值。 增加i，然后再次增加j，直到sum(a_i..a_j)和sum(a_i..a_j+1)尽可能接近S/2。请注意哪个更接近并替换 i_best,j_best,sum_best 的值，如果它们更好的话。重复此步骤直至完成。

请注意，i 和 j 都不会递减，因此它们总共最多更改 O(n) 次。由于所有其他操作只需要恒定的时间，因此整个算法的运行时间为 O(n)。

【讨论】：

某些步骤可能需要 O(n) 次操作，但总时间为 O(n) :-)

@Egor：我在答案中添加了这个

@NiklasB。您将其更改为“这是 O(n)，因为在每个步骤中，您只增加 i 和 j” - 这不是真的；每次增加 i 和 j 时，该算法都会采取额外的步骤，但这些额外的步骤在 O(1) 中完成。这个含义在您的编辑中丢失了。如果您的澄清仍然可以保留我的初衷，那就太好了，否则我将在今天晚些时候进行编辑。

@Matt：好吧，也许这是一个糟糕的表述。我的意思是强调“递增”，就像“你只是递增 i 和 j，而不是递减它们”。让我试着找到一个更好的配方。

【参考方案2】：

让我们先做一些澄清。

序列的subsequence 实际上是序列索引的 子集。 Haivng 说，特别是在您的序列具有不同元素的情况下，您的问题将 减少 为著名的Partition 问题，这是众所周知的 NP 完全问题。如果是这种情况，您可以设法解决 O(Sn) 中的问题，其中“n”是元素的数量，“S”是总和。这不是多项式时间，因为“S”可以任意大。 让我们考虑具有连续子序列的情况。您需要观察数组元素两次。第一次运行将它们总结为一些“S”。在第二次运行中，您仔细调整数组长度。假设您知道 a[i] + a[i + 1] + ... + a[j] > S / 2。然后让 i = i + 1 减少总和。相反，如果它更小，你会增加 j。

此代码在 O(n) 中运行。

Python 代码：

    from math import fabs
    a = [1, 2, 3, 4, 5]
    i = 0
    j = 0
    S = sum(a)
    s = 0
    while s + a[j] <= S / 2:
        s = s + a[j]    
        j = j + 1
    s = s + a[j]


    best_case = (i, j)
    best_difference = fabs(S / 2 - s)
    while True:    
        if fabs(S / 2 - s) < best_difference:
            best_case = (i, j)
            best_difference = fabs(S / 2 - s)
        if s > S / 2:
            s -= a[i]
            i += 1        
        else:
            j += 1
            if j == len(a):
                break
            s += a[j]

    print best_case
    i = best_case[0]
    j = best_case[1]
    print "Best subarray = ", a[i:j + 1]
    print "Best sum = " , sum(a[i:j + 1])

【讨论】：

OP 谈论“连续”总和和“a_i, a_i+1, ..., a_j”，所以我猜这个问题实际上是关于子字符串而不是子序列

我也猜到了。否则，“子集”一词会是更好的选择。