从下/上三角矩阵中给出一个元素

Posted 2023-02-22

【中文标题】从下/上三角矩阵中给出一个元素

【英文标题】：Giving an element from lower/upper triangular matrix

【发布时间】：2016-09-30 14:35:17

【问题描述】：

我有一个矩阵的上三角部分，主对角线存储为一个线性数组，如何从数组的线性索引中提取矩阵元素的 (i,j) 索引？

例如线性数组：[a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10]是矩阵的存储

a0  a1  a2  a3
0   a4  a5  a6
0   0   a7  a8
0   0   0   a10

我找到了解决这个问题的方法，但没有主对角线：

index = (n*(n-1)/2) - (n-i)*((n-i)-1)/2 + j - i - 1

同样问题的解决方案，但对角线的下三角矩阵：

index = ((i + 1) * i / 2 + i).

问候，

【问题讨论】：

听起来像是一道作业题。你试过什么？它产生了什么结果？您可以修改没有主对角线的那个以使用主对角线吗？

我试过这个没有对角线：k = (n*(n-1)/2) - (n-i)*((n-i)-1)/2 + j - i - 1 这适用于对角线的下三角：((I + 1) * I / 2 + J)。

@Bako 您能否将其与您使用的代码一起包含在问题中。您在这里提供的是逻辑，并不是每个人都关注 cmets。所以，请编辑问题。

“将主对角线存储为线性数组”是否有错误？似乎线性 vector 存储了上三角部分，包括主对角线？

@AhmedFasih 不，我的意思是我存储矩阵的上三角部分，包括主对角线。

【参考方案1】：

我的解决方案可能相当于your’s，我没查过：

index = N * i - ((i - 1) * i) / 2 + (j - i)

这是一个完整的 Python 测试。我使用 Python 是因为 Numpy 有 triu_indices，它给出了上三角索引。

import numpy as np

def mksquare(N):
    """Make a square N by N matrix containing 0 .. N*N-1"""
    return np.arange(N * N).reshape(N, N)

def mkinds(N):
    """Return all triu indexes for N by N matrix"""
    return [(i,j) for i in range(N) for j in range(N) if i <= j]

def ij2linear(i, j, N):
    """Convert (i,j) 2D index to linear triu index for N by N array"""
    return N * i - ((i - 1) * i) // 2 + (j - i)

def test(N):
    """Make sure my `mkinds` works for given N"""
    arr = mksquare(N)
    vec = arr[np.triu_indices(N)]

    inds = mkinds(N)
    expected = [arr[i, j] for (i, j) in inds]

    actual = [vec[ij2linear(i, j, N)] for (i, j) in inds]

    return np.all(np.equal(actual, expected))

"""Run `test` for a bunch of `N`s and make sure they're all right"""
print(all(map(test, range(2, 20))))
# prints True ?

值得发表一篇博文来解释如何得出这个结论，但现在就可以了 ?。

【参考方案2】：

我找到了答案！它是：

index = (n*(n+1)/2) - (n-i)*((n-i)+1)/2 + j - i

【参考方案3】：

三角矩阵可以推广到任何维度。例如，假设 A[a,b,c,d,e] 仅当 0

其中 B[b] = b+1 选择 2，C[c] = c+2 选择 3，D[d] = d+3 选择 4 和 E[e] = e +4 选择 5。

这些“偏移”数组可以在不使用乘法或除法的情况下计算，如下所示：

B[0] = C[0] = D[0] = E[0] = 0;

for(int t = 1; t < N; t++)
 
  B[t] = B[t-1]+t;
  C[t] = C[t-1]+B[t];
  D[t] = D[t-1]+C[t];
  E[t] = E[t-1]+D[t];