在比较列表中的元素时，如何有效地迭代并提高 O(n^2) 的时间复杂度？

Posted 2023-02-14

【中文标题】在比较列表中的元素时，如何有效地迭代并提高 O(n^2) 的时间复杂度？

【英文标题】：When making comparison between the elements in a list, how to efficiently iterate and improve the time complexity from O(n^2)?

【发布时间】：2022-01-23 01:37:29

【问题描述】：

我有一个列表，我想在其中比较列表中的每个元素。我知道我们可以使用嵌套循环来做到这一点，但时间复杂度是 O(n^2)。有没有什么办法可以提高时间复杂度并提高比较效率？

例如：

我有一个列表，我想在其中找到每个元素之间的数字差异。考虑一个列表 array=[100,110,010,011,100] 我试图找出每个整数之间数字的差异。 array[0] 与 array[4] 相同（即 100 和 100），而 array[0] 有 1 位与 array[1] 不同（即 100 和 110），而 array[0] 有 3 位是不同于数组 [3]（即 100 和 011）。假设相似的整数被定义为具有相同或数字差异仅为 1 的整数，我想返回一个列表作为输出，其中每个元素表示具有相似数字的整数（即数字差异

对于输入列表array=[100,110,010,011,100]，我的预期输出应该是[2,3,2,1,2] .在输出列表中， output[0] 表示 array[0] 类似于 array[1] 和 array[4] （即类似于 100 ，我们在列表中还有 2 个其他整数 110,100）

这是我的代码，虽然非常低效 O(n^2)：

def diff(a,b):
    difference= [i for i in range(len(a)) if a[i]!=b[i]]
    return len(difference)

def find_similarity_int(array):
    # write your code in Python 3.6
    res=[0]*len(array)
    string=[]
    for n in array:
        string.append(str(n))
    for i in range(0,len(string)):
        for j in range(i+1,len(string)):
            count=diff(string[i],string[j])
            if(count<=1):
                res[i]=res[i]+1
                res[j]=res[j]+1

    return res

input_list=['100','110','010','011','100']
output=find_similarity_int(input_list)
print("The similarity metrics for the given list is : ",output)

输出：

给定列表的相似度指标是：[2, 3, 2, 1, 2]

谁能建议一种有效的方法来进行比较，最好只有 1 个循环？谢谢！

【问题讨论】：

由于您正在进行 n*n 比较（根据定义，您应该将每个元素与每个其他元素进行比较），您似乎无法做到这一点比 n^2 快。作业是否表明您应该能够做到？如果这里有一个聪明的技巧，我猜它涉及改变计算 diff 的方式（例如，以某种方式一次在整个列表中逐位而不是逐个元素地进行计算）。

肯定有办法让代码更优雅——你可以跳过重新转换为str，你可以将diff缩短为sum(i != j for i, j in zip(a, b))，你的主嵌套循环会使用enumerate 看起来更好。但这些都不会改变时间复杂度。

是的，这个问题是在在线评估中提出的，但不幸的是，我想不出更有效的解决方案。您如何一次在整个列表中逐位进行比较？有什么例子吗？

我正在设想类似将每个数字在 O(n) 中每个位置的出现求和，然后使用它以某种方式推断（也在 O(n) 中）每个字符串与列表中的所有其他内容。例如。在位置 0 有 3 个项目 1，因此这些项目在该位置与其他 2 个字符串不同。但我不认为聚合技巧很有效，因为你不知道差异在哪里重叠。

感觉有点像en.wikipedia.org/wiki/Rabin%E2%80%93Karp_algorithm

【参考方案1】：

如果值仅是二进制数字，则可以使用多重集（集合中的计数器）获得 O(nxm) 解决方案（其中 m 是值的宽度）。使用多重集中的值计数，将每个数字中恰好对应于一位变化的项目计数相加（加上重复的数量）：

from collections import Counter
def simCount(L):
    counts = Counter(L)  # multiset of distinct values / count
    result = []
    for n in L:
        r = counts[n]-1                              # duplicates
        for i,b in enumerate(n):                     # 1 bit changes
            r += counts[n[:i]+"01"[b=="0"]+n[i+1:]]  # count others
        result.append(r)                             # sum of similars
    return result

输出：

A = ['100','110','010','011','100']

print(simCount(A)) # [2, 3, 2, 1, 2]

为避免对每个项目进行字符串操作，您可以将它们转换为整数并使用按位运算符进行 1 位更改：

from collections import Counter
def simCount(L):
    bits   = [1<<i for i in range(len(L[0]))] # bit masks
    L      = [int(n,2) for n in L]            # numeric values
    counts = Counter(L)                       # multiset n:count
    result = []
    for n in L:
        result.append(counts[n]-1)            # duplicates
        for b in bits:                        # 1 bit changes
            result[-1] += counts[b^n]         # sum similars
    return result

A = ['100','110','010','011','100']

print(simCount(A)) # [2, 3, 2, 1, 2]

【讨论】：

我正要发布第二个解决方案。虽然我的情况稍微复杂一些，因为我没有直觉到 counts[b^n] 快​​捷方式。做得很好。

太好了，非常感谢！