寻找最小pangrammatic窗口的有效算法？

Posted 2023-02-22

【中文标题】寻找最小pangrammatic窗口的有效算法？

【英文标题】：An efficient algorithm for finding smallest pangrammatic windows?

【发布时间】：2012-03-19 17:55:57

【问题描述】：

pangrammatic window 是包含所有 26 个字母的较大文本的子字符串。引用***的一个例子，给定以下文本：

我唱歌，觉得自己唱得很好；但他只是用一种非常疑惑的表情看着我的脸说，“你唱了多久了，小姐？”

文本中最小的pangrammatic窗口是这个字符串：

g 非常好；但他只是用一个非常古怪的前任看着我的脸

确实包含每个字母至少一次。

我的问题是：给定一个文本语料库，在文本中找到最小的pangrammatic 窗口最有效的算法是什么？

我已经对此进行了一些思考，并提出了以下算法。我有一种强烈的感觉，这些都不是最佳的，但我想我会把它们作为一个起点。

有一个简单的朴素算法，在时间 O(n²) 和空间 O(1) 中运行：对于字符串中的每个位置，从该位置向前扫描并跟踪你的字母见过（也许在一个位向量中，因为只有 26 个不同的字母，占用空间 O(1)）。一旦你找到了所有 26 个字母，你就有了从那个给定点开始的最短 pangrammatic 窗口的长度。每次扫描可能需要 O(n) 时间，并且有 O(n) 次扫描，总共需要 O(n²) 时间。

我们也可以使用修改后的二分搜索在时间 O(n log n) 和空间 O(n) 上解决这个问题。构造 26 个数组，一个对应字母表中的每个字母，然后按排序顺序使用输入文本中每个字母的位置填充这些数组。我们可以通过简单地扫描文本来做到这一点，将每个索引附加到与当前字符对应的数组中。一旦我们有了这个，我们可以在 O(log n) 时间内找到从某个索引开始的最短 pangrammatic 窗口的长度，方法是在数组中运行 26 次二进制搜索，以找到每个字符出现在输入数组中的最早时间或在给定索引之后。无论这些数字中的哪一个最大，都会给出出现在字符串最下方的“长杆”字符，从而给出 pangrammatic 窗口的端点。运行此搜索步骤需要 O(log n) 时间，并且由于我们必须对字符串中的所有 n 个字符执行此操作，因此总运行时间为 O(n log n)，其中数组的内存使用量为 O(n)。

上述方法的进一步改进是将数组和二分搜索替换为van Emde Boas trees 和前身搜索。这将创建时间增加到 O(n log log n)，但将每次搜索时间减少到 O(log log n) 时间，净运行时间为 O(n log log n)，空间使用量为 O(n)。

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有没有更好的算法？

【参考方案1】：

对于每个字母，请跟踪最近的目击事件。每当您处理一个字母时，更新相应的目击索引并计算所有字母的目击索引的范围（最大-最小）。找到范围最小的位置。

复杂度 O(n)。 O(nlog(m)) 如果你考虑字母大小 m。

【讨论】：

+1 在发布问题大约五分钟后，我意识到这个解决方案是可能的。如果您制作端点的 vEB 树，您实际上可以将任意字母 m 设为 O(m + n log log m)。很好的答案！

@ElKamina，我在以下输入中尝试了你的算法，它没有返回正确的答案。如果我做得不对，有人可以解释一下。 Alphabate: a,b,c Input string : aabbabcca Sighting index:a-:8,b-:5,c-:7 Range(min,max): (5,7) , Ans : bcca, but the correct ans should是“abc”

@Prafulla 这是最近的目击事件。处理完 7 后，字母看起来像 (5,6,7)（分别代表 a,b,c），处理完第 8 个 (5,6,8), 9: (9,6,8)。

@ElKamina 很抱歉，我还是不明白。从(9,6,8)，我们计算出窗口为(6-9)，即“bcca”，但最小的窗口是“abc”？

@Prafulla 您应该跟踪窗口及其长度。在这种情况下，有三个可能的窗口 7:(5,6,7), 8:(5,6,8), 9:(9,6,8) 。它们的窗口长度分别为 3、4、4。所以最佳解决方案是 7:(5,6,7)，正如你所提到的，它是 'abc'

【参考方案2】：

这个算法有O(M)空间复杂度和O(N)时间复杂度（时间不取决于字母大小M）：

推进第一个迭代器并为每个已处理的字母增加计数器。当所有 26 个计数器都不为零时停止。 为每个已处理的字母增加第二个迭代器并减少计数器。当这些计数器中的任何一个为零时停止。 使用迭代器之间的差异更新迄今为止的最佳结果并继续执行步骤 1。

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如果存储字符串中的位置而不是字符计数器，则该算法可能会有所改进。在这种情况下，第 2 步应该只读取这些位置并与当前位置进行比较，第 1 步应该更新这些位置并（大部分时间）搜索文本中的某些字符。

【讨论】：

我很确定这行得通，但我不确定我明白为什么它不会以某种方式意外跳过窗口。您确定这会正确考虑所有窗口吗？

@templatetypedef，证明很简单。步骤 2 的不变性是，从第二个迭代器开始的最短 pangrammatic 窗口的长度正好是（第一个迭代器 - 第二个迭代器），因为递减第一个迭代器会从集合中删除一个字符。因此，您可以将此算法视为 n^2 算法的优化变体。

这个 O(N) 怎么算，怎么不依赖字母表大小 M？具体来说，如何检查“当所有 26 个计数器均非零时停止”。在 O(1) 中，（因为它是常数，所以可以在 O(1) 中完成，但对于 M 的一般情况？）

@kolistivra：需要一个额外的计数器，每当 M 个计数器中的一些变为非零时，该计数器就会增加。这个单个计数器可以在 O(1) 时间内与 M 进行比较。至于整体复杂度，每个迭代器都提前了 O(N) 次，每次迭代需要 O(1) 时间来完成，所以这个算法只需要 O(N) 时间。 （实际上是 O(N+M) 因为我们需要初始化 M 个计数器，但是 O(N+M) = O(N) 因为 M