从总和重建矩阵

Posted 2023-02-22

【中文标题】从总和重建矩阵

【英文标题】：Matrix reconstruction from sums

【发布时间】：2017-05-02 07:29:53

【问题描述】：

我想重构一个包含所有正整数元素的矩阵，给定每一行和每一列的总和。

a0 a1 a2 .. aN | Σa
b0 b1 b2 .. bN | Σb
.. .  .  .  .. | ..
..  .  .  . .. | ..
z0 z1 z2 .. zN | Σz
---------------+----
Σ0 Σ1 Σ2 .. ΣN |

在给定行和列总和的情况下，是否有一种算法可以找到所有个可能的矩阵元素组合。

非常感谢任何参考。

【参考方案1】：

是的。你有一个system of linear equations，每行一个，每列一个； m*n 个变量和 m+n 个方程。

如何计算（和表示）解决此类系统的一组解决方案取决于您的环境。

编辑：我明白了。有关此问题的大量实例，请参阅integer programming。

但是如果你的矩阵和行/列之和很小，则可以通过backtracking找到所有解决方案。非常高级的伪代码：

function SOLVE(partially filled M) 

    if (M has no empty entries) 

        M is a solution

     else 

        ij <- one empty position of M
        // in practice, try picking one that reduces the number of
        // iterations of the following loop

        for (each possible value v of M[ij], subject to the constraints) 
            M' <- a copy of M
            M'[ij] = v
            SOLVE(M')
    



M0 <- an empty Matrix of correct size

SOLVE(M0)

【讨论】：

生成的线性方程组如何确保矩阵项是正数（实际上可能是“非负数”）？

基本上，环境就像输入行和列的总和并获得满足这些总和的所有可能的矩阵集的输出。