在 O(mlogn) 时间内计算两个未排序数组的并集和交集

Posted 2023-02-22

【中文标题】在 O(mlogn) 时间内计算两个未排序数组的并集和交集

【英文标题】：Computing the union and intersection of two unsorted arrays in O(mlogn) time

【发布时间】：2016-03-08 20:56:19

【问题描述】：

好的，所以我需要设计以下算法（无需代码，只需步骤）：

给定两个集合 A 和 B，长度分别为 m 和 n，其中每个集合中的数字是不同的、未排序的和 m<n。计算两个集合的交集和并集，在任一结果中都没有任何重复值。该算法应该在 O(mlog(n)) 时间内工作。

我很难找出具有如此时间复杂度的算法。最初，我想连接两个未排序的数组，然后对其执行合并排序并删除重复项，但这超出了很多复杂性。

【问题讨论】：

这对于普通的无序数组是不可能的。想象一个单项 A 被插入到一个大数组 B 中，那么您将至少在线性 (O(n)) 时间内检查 B 的每个条目一次。当然，对于存储在 in 数组中的哈希表，您平均可以在 O(m+n) 时间内完成，这是否允许？

嗯，我不确定。明天我会和我的教授一起去办公时间，看看她希望它如何发生，因为我同意这似乎不太可能。

【参考方案1】：

我错过了性能要求。解决方案在O(n log(m)) 中，而不是O(m log(n) ) 中要求的。

所需的运行时间是不可能的。证明已经在 cmets 中画出来了。基本思想是去极端情况下A 是单例集。然后性能要求归结为在运行时O(log(|B|)) 中检查给定元素是否包含在集合B 中。这是据我所知，但只有在 B 已排序或在 B 上存在某种索引结构时才有可能。

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O(blog(m)) 解决方案

作为m<n，您可以对A 进行排序，结果是As。排序A 是O(m log(m)) < O(m log(n) )。

在排序后的As 中找到一个元素是在O(log(m)) 中。所以你只需要检查B 的每个实例并确定它是否包含在As 中。

产生的运行时（滥用符号）是 O(n log(n))+ m* O(log(n)) = O(n log(n))+ O(n* log(m))=O(n log(m))

【讨论】：

关闭，但您混淆了m 和n。排序A 是 O(m log m)，而不是 O(n log n)。在已排序的 A 中搜索一个项目是 O(log m)，您需要这样做 n 次。所以结果是(m * log(m)) + (n * log(m))。此外，问题指出“每组中的数字是不同的”，因此您不必担心B 中存在重复。

感谢要排序的数组确实应该是B

如果m < n，那么n*log(n) > m*log(n)