为 n 维系统实现模块化 Runge-kutta 4 阶方法

Posted 2023-02-21

【中文标题】为 n 维系统实现模块化 Runge-kutta 4 阶方法

【英文标题】：Implementing modular Runge-kutta 4th order method for a n-dimension system

【发布时间】：2019-12-07 23:29:42

【问题描述】：

我正在尝试使我的 runge-kutta 四阶代码模块化。我不想每次使用它时都必须编写和声明代码，而是在 .hpp 和 .cpp 文件中声明它以单独使用它。但我遇到了一些问题。一般来说，我想求解一个 n 维方程组。为此，我使用了两个函数：一个用于方程组，另一个用于 runge-kutta 方法，如下所示：

double F(double t, double x[], int eq)

    // System equations
    if      (eq == 0)  return (x[1]); 
    else if (eq == 1)  return (gama * sin(OMEGA*t) - zeta * x[1] - alpha * x[0] - beta * pow(x[0], 3) - chi * x[2]); 
    else if (eq == 2)  return (-kappa * x[1] - phi * x[2]); 
    else  return 0; 

void rk4(double &t, double x[], double step)

    double x_temp1[sistvar], x_temp2[sistvar], x_temp3[sistvar];        
    double k1[sistvar], k2[sistvar], k3[sistvar], k4[sistvar];      

    int j;                                                      

    for (j = 0; j < sistvar; j++) 
    
        x_temp1[j] = x[j] + 0.5*(k1[j] = step * F(t, x, j));
    
    for (j = 0; j < sistvar; j++)
    
        x_temp2[j] = x[j] + 0.5*(k2[j] = step * F(t + 0.5 * step, x_temp1, j));
    
    for (j = 0; j < sistvar; j++)
    
        x_temp3[j] = x[j] + (k3[j] = step * F(t + 0.5 * step, x_temp2, j));
    
    for (j = 0; j < sistvar; j++)
    
        k4[j] = step * F(t + step, x_temp3, j);
    
    for (j = 0; j < sistvar; j++) 
    
        x[j] += (k1[j] + 2 * k2[j] + 2 * k3[j] + k4[j]) / 6.0;
    

    t += step;

上面的代码有效并且已经过验证。但是它有一些依赖关系，因为它使用一些全局变量来工作：

gama、OMEGA、zeta、alpha、beta、chi、kappa 和 phi 是我想从 .txt 文件中读取的全局变量。我已经设法做到了，但是只在一个包含所有代码的 .cpp 文件中。

另外，sistvar 是系统维度，也是一个全局变量。我正在尝试将其作为参数输入F。但是它的编写方式似乎给出了错误，因为 sistvar 是一个 const 并且不能作为变量进行更改，而且我不能将变量放入数组的大小中。

此外，这两个函数具有相互依赖关系，因为需要在rk4、eq 中调用F 号码。

您能给我一些建议吗？我已经搜索并阅读了有关此的书籍，但找不到答案。这可能是一项简单的任务，但我在 c/c++ 编程语言方面相对较新。

提前致谢！

* 已编辑（尝试使用 std::vector 实现）*

double F(double t, std::vector<double> x, int eq)

    // System Equations
    if (eq == 0)  return (x[1]); 
    else if (eq == 1)  return (gama * sin(OMEGA*t) - zeta * x[1] - alpha * x[0] - beta * pow(x[0], 3) - chi * x[2]); 
    else if (eq == 2)  return (-kappa * x[1] - phi * x[2]); 
    else  return 0; 


double rk4(double &t, std::vector<double> &x, double step, const int dim)

    std::vector<double> x_temp1(dim), x_temp2(dim), x_temp3(dim);
    std::vector<double> k1(dim), k2(dim), k3(dim), k4(dim);

    int j;

    for (j = 0; j < dim; j++) 
        x_temp1[j] = x[j] + 0.5*(k1[j] = step * F(t, x, j));
    
    for (j = 0; j < dim; j++) 
        x_temp2[j] = x[j] + 0.5*(k2[j] = step * F(t + 0.5 * step, x_temp1, j));
    
    for (j = 0; j < dim; j++) 
        x_temp3[j] = x[j] + (k3[j] = step * F(t + 0.5 * step, x_temp2, j));
    
    for (j = 0; j < dim; j++) 
        k4[j] = step * F(t + step, x_temp3, j);
    

    for (j = 0; j < dim; j++) 
        x[j] += (k1[j] + 2 * k2[j] + 2 * k3[j] + k4[j]) / 6.0;
    

    t += step;

    for (j = 0; j < dim; j++) 
        return x[j];
    

vector                 array

2.434 s   |        |   0.859 s
2.443 s   |        |   0.845 s
2.314 s   |        |   0.883 s
2.418 s   |        |   0.884 s
2.505 s   |        |   0.852 s
2.428 s   |        |   0.923 s
2.097 s   |        |   0.814 s
2.266 s   |        |   0.922 s
2.133 s   |        |   0.954 s
2.266 s   |        |   0.868 s
_______                _______
average = 2.330 s      average = 0.880 s

【问题讨论】：

我非常怀疑该代码是否可以用作 RK4 方法的代码。您只得到一个订单 1 方法，而不是预期的订单 4 方法。测试它，计算一个非标量测试问题的误差，用不同步长的已知解决方案。

您正在使用 C++。您是否考虑过将 ODE 系统实现为一个导出维度和 ODE 函数的类（通过某个接口或基类）？

好的，振荡器是一个循环耦合系统。您是否还以数字方式验证了该方法的顺序？正如我所说，该方法仍然具有 1 阶，并且在第一步之后数组将填充 1 阶正确值，因此如果步长足够小，您仍然可以获得视觉上正确的结果。

对于一些包含大量样板的 C++ 代码，请查看***.com/q/49738918/3088138 的答案，或者people.sc.fsu.edu/~jburkardt/cpp_src/rk4/rk4.html 的更简单的实现

通过一些巧妙的指针处理，您可以在循环中压缩 RK4 的阶段，使用系数数组 c= 0,0.5, 0.5, 1; 和 b=1,2,2,1; 同时评估导数并更新下一个状态向量。

【参考方案1】：

使用向量函数，其中向量算术取自 Eigen3

#include <eigen3/Eigen/Dense>
using namespace Eigen;

问题中讨论的相同部分可能看起来像（受function pointer with Eigen启发）

VectorXd Func(const double t, const VectorXd& x)
 // equations for solving simple harmonic oscillator
    Vector3d dxdt;
    dxdt[0] = x[1];
    dxdt[1] = gama * sin(OMEGA*t) - zeta * x[1] - alpha * x[0] - beta * pow(x[0], 3) - chi * x[2]; 
    dxdt[2] = -kappa * x[1] - phi * x[2]; 
    return dxdt;


MatrixXd RK4(VectorXd Func(double t, const VectorXd& y), const Ref<const VectorXd>& y0, double t, double h, int step_num)

    MatrixXd y(y0.rows(), step_num );
    VectorXd k1, k2, k3, k4;
    y.col(0) = y0;

    for (int i=1; i<step_num; i++)
        k1 = Func(t, y.col(i-1));
        k2 = Func(t+0.5*h, y.col(i-1)+0.5*h*k1);
        k3 = Func(t+0.5*h, y.col(i-1)+0.5*h*k2);
        k4 = Func(t+h, y.col(i-1)+h*k3);
        y.col(i) = y.col(i-1) + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)*h/6;
        t = t+h;
    
    return y.transpose();

将向量传递给要填充的函数显然需要在 Eigen 中进行一些更高的模板考虑。