背包问题变体 - 将重量和价值最大化到极限

Posted 2023-02-19

【中文标题】背包问题变体 - 将重量和价值最大化到极限

【英文标题】：Knapsack Problem Variant - Maximizing Weight and Value Up To Limit

【发布时间】：2022-01-18 02:52:42

【问题描述】：

我正在尝试制定一种算法（可能使用 Python 中的 OR 工具）来解决似乎与背包问题有关的问题。

我在位置 A 有一组物品 我想把他们送到位置 B 每件商品都有重量和价值 我只能携带 X 个重量 我怕中途被抢，所以只想携带最多Y个值

如果我正在尝试计划我的第一次从位置 A 到位置 B 的旅行，我该如何选择这样的项目：

我将加载的重量最大化，最大限制为 X（最大程度地减少浪费的重量容量） 我将加载的价值最大化，直到 Y 的限制（最小化浪费的价值容量）

一个人为的例子：

我的限额是 5 公斤和 50 美元 我有 10 个 C 项（重量：0.1 公斤，价值：10 美元） 我有 10 件 D 项（重量：1 公斤，价值：1 美元）

“简单”的解决方案是进行 4 次旅行：

5x C 项（50 美元，0.5 公斤） 5x C 项（50 美元，0.5 公斤） 5x D 项（5 美元，5 公斤） 5x D 项（5 美元，5 公斤）

但更明智的解决方案是只进行 3 次旅行：

4x C 项 + 4x D 项（44 美元，4.4 公斤） 4x C 项 + 4x D 项（44 美元，4.4 公斤） 2x C 项 + 2x D 项（22 美元，2.2 公斤）

我使用过 OR Tools 线性求解器，但仅在具有多个约束的情况下最大化一个值。如何在多个约束条件下最大化多个值（加载重量和加载值）？

【问题讨论】：

目标不是尽量减少出行吗？这是一个单一的目标。 （就像装箱问题：尽量减少箱的数量）。

不完全。我们一次只能计划一次旅行，并且无法计划任何未来的旅行，因为位置 A 的物品集可能会在旅行完成时发生变化。

【参考方案1】：

我相信我找到了解决方案。我所做的是尝试最大化一个同时考虑权重和价值的复合变量。在 Python 中使用 OR 工具：

objective = solver.Objective()

for i, item in enumerate(item_list):
    objective.SetCoefficient(x[i], item['mass']/max_volume + item['value']/max_value)

objective.SetMaximization()

这会将系数设置为同时考虑质量和价值。重要的部分是每个都根据其相关限制进行标准化。该解决方案始终如一地为我提供充分利用重量和价值“空间”的物品集。