查找完全二叉树的不相关分区
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【中文标题】查找完全二叉树的不相关分区【英文标题】：Find unrelated partitions of a complete binary tree 【发布时间】：2021-12-03 04:04:02 【问题描述】：我有一棵高度为“h”的完整二叉树。 我如何为此找到“h”个不相关的分区？
注意： 不相关的分区意味着其直接父级不能存在子级。
每个分区的节点数有限制。 一个分区的最大节点数与该分区的最小节点数之差可以是0也可以是1。
此外，root 被排除在分区之外。
【问题讨论】：
什么是h 用于具有 7 个节点的完整树？
@WalterTross h 对于具有 7 个节点的完整二叉树来说是 2。考虑根节点在h = 0
为什么这个标签同时带有 java 和 python 的标签？
无论如何，如果分区是指一组节点，不受其数量的限制，那么通过让根与叶子属于同一分区，可以轻松满足不相关分区的条件，并且中间的每一层都属于不同的分区
@WalterTross Final 这是。保证不再更改。
【参考方案1】：
谁设计了这个问题可能有一个更优雅的解决方案，但以下工作。
假设我们有编号为1 到h 的h 分区，并且分区n 的节点具有值n。根节点的值为0，不参与分区。即使n 为偶数，我们也称其为分区，如果n 为奇数，我们也称其为奇数。让我们也对完整二叉树的级别进行编号，忽略根并从级别 1 开始，有 2 个节点。级别n有2n个节点，完整的树有2h+1-1个节点，但只有P=2h+1-2 个节点属于分区（因为不包括根）。每个分区由p=⌊P/h⌋或p=⌈P/h⌉节点组成，使得∑ᵢpᵢ=P。
如果树的高度h是偶数，则将所有偶数分区放入左子树的偶数层和右子树的奇数层，将所有奇数分区放入左子树的奇数层，右子树的偶数层。
如果h是奇数，则像偶数情况一样将所有分区分配到分区h-1，但将分区h均匀分配到左右子树的最后一层。
这是 h 最多 7 个的结果（为此，我以紧凑的方式在终端上写了一个很小的 Python library to print binary trees）：
0
1 1
0
1 2
2 2 1 1
0
1 2
2 2 1 1
1 1 3 3 2 2 3 3
0
1 2
2 2 1 1
1 1 1 1 2 2 2 2
2 4 4 4 4 4 4 4 1 3 3 3 3 3 3 3
0
1 2
2 2 1 1
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 4 1 1 1 1 1 1 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5
0
1 2
2 2 1 1
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
0
1 2
2 2 1 1
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
这是生成它的代码：
from basicbintree import Node
for h in range(1, 7 + 1):
root = Node(0)
P = 2 ** (h + 1) - 2 # nodes in partitions
p = P // h # partition size (may be p or p + 1)
if h & 1: # odd height
t = (p + 1) // 2 # subtree tail nodes from split partition
n = (h - 1) // 2 # odd or even partitions in subtrees except tail
else: # even height
t = 0 # no subtree tail nodes from split partition
n = h // 2 # odd or even partitions in subtrees
s = P // 2 - t # subtree nodes excluding tail
r = s - n * p # partitions of size p + 1 in subtrees
x = [p + 1] * r + [p] * (n - r) # nodes indexed by subtree partition - 1
odd = [1 + 2 * i for i, c in enumerate(x) for _ in range(c)] + [h] * t
even = [2 + 2 * i for i, c in enumerate(x) for _ in range(c)] + [h] * t
for g in range(1, h + 1):
start = 2 ** (g - 1) - 1
stop = 2 ** g - 1
if g & 1: # odd level
root.set_level(odd[start:stop] + even[start:stop])
else: # even level
root.set_level(even[start:stop] + odd[start:stop])
print('```none')
root.print_tree()
print('```')
所有生产的高度不超过 27 的树都已通过程序确认符合规范。
算法的某些部分需要证明，例如，在奇数高度的情况下，总是可以为分割分区选择偶数大小，但是这个证明和其他证明留给读者作为练习； -)
【讨论】：
以上是关于查找完全二叉树的不相关分区的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章