如果某些对象彼此不兼容，如何对对象进行分组和合并？

Posted 2023-02-19

【中文标题】如果某些对象彼此不兼容，如何对对象进行分组和合并？

【英文标题】：How to group and merge objects, if some are incompatible with each other?

【发布时间】：2015-03-05 01:26:36

【问题描述】：

我有一堆对象，我想将它们合并为尽可能少的复合对象。

我可以计算任何2个对象是否可以合并，如果它们可以合并，则将它们合并。

当且仅当 A 与 B 的一个或多个元素不兼容时，一个对象 A 与另一个由 N 个合并对象组成的 B 不兼容。

贪心解决方案（合并到第一个有效）对于 4 个对象失败，其中 1x4（1 不能与 4 组合）、2x3、3x4。贪心解法将对象 1 和 2 放入第 1 组，然后将对象 3 放入第 2 组，将对象 4 放入第 3 组。正确的解法是将对象 1 和 3 放入第 1 组，将对象 2 和 4 放入第 2 组。

问题的名称是什么，是否可以解决？如果有，算法是什么？

（最坏的情况 = 蛮力，虽然很慢但可行，因为我合并的对象数量非常少。）

编辑：如果不能合并则合并失败，否则合并。未合并和合并都可以访问。花费 O(size(a) + size(b)) 时间并返回一个大小为 (a+b) 的对象。假设大小约为 1000。

【问题讨论】：

这可以建模为图顶点着色问题。 ***.com/q/2445380/718379

youtu.be/c1UBJbfR-H0?t=1574

【参考方案1】：

将此视为图形问题。每个对象都是一个顶点，当且仅当v1 和v2 兼容时，才有一条边(v1, v2)。您现在正在寻找一个 NP-complete 的 clique cover。

请注意，clique 覆盖是一个决策问题（是否可以用 k cliques 覆盖图形？），但您可以通过对 k 进行二分搜索将其变成优化问题（我可以覆盖例如，有 8 个派系？如果是，请尝试 4，如果不是，请尝试 16，等等）。那么问题仍然是NP完全的。

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正如@timrau 已经评论过的那样——正如***链接中提到的那样——补码问题是graph coloring：你有相同的顶点，但现在有一条边(v1, v2) 当且仅当v1 和@987654331 @ 是不兼容的。然后，您想要找到为顶点着色所需的最少颜色数，以使相邻顶点没有相同的颜色。***也为此提供了一些algorithms。