有向图中的 K 条边不相交路径

Posted 2023-02-19

【中文标题】有向图中的 K 条边不相交路径

【英文标题】：K edge disjoint paths in a directed graph

【发布时间】：2016-08-22 07:55:31

【问题描述】：

给定 G = (V,E) 中的两个顶点 u 和 v 以及一个正整数 k，描述一个算法来判断是否存在从 u 到 v 的不相交边路径。如果决策问题的答案是肯定的，描述如何计算一组 k 边不相交的路径。

解决方案： 运行从 u 到 v 的最大流（给图 G 中的所有边赋予 1 的权重，这样一条边只能是从 u 到 v 的一条路径的一部分）并得到流量的价值。如果流的值为 k，那么我们对决策问题的答案是肯定的。

现在要查找所有此类路径，通过从 u 执行 BFS 来找到最小切割，因此我将分割顶点，将顶点分成 2 个集合，在最小切割的每一侧。

然后我是否需要再次执行从 u 到 v 的 DFS，以查找仅具有这些顶点的所有路径，这些顶点存在于我从最小切割中获得的两个分区集中。

或者还有其他更清洁的方法吗？得到所有k条边不相交的路径。

【参考方案1】：

获得流程后，您可以按照流程提取边缘不相交的路径。

起始节点将有一个 k 流，沿着 k 条边离开 u。

对于这些边中的每一个，您可以继续沿流出流的方向移动以提取路径，直到到达 v。您需要做的就是标记您已经使用过的边以避免重复边。

对每个离开 u 的 k 个流单元重复以提取所有 k 个路径。

伪代码

repeat k times:
  set x to start node
  set path to []
  while x is not equal to end node:
      find a edge from x which has flow>0, let y be the vertex at the far end
      decrease flow from x->y by 1 unit
      append y to path
      set x equal to y
  print path

【讨论】：

嗨！我正在尝试解决这个问题，而我发现的关于这个主题的所有内容都有一个我无法理解的“漏洞”。那么，我应该在哪个图中跟随流程？来自最大流或原始图的残差图？如何治疗周期？提前致谢。

我添加了一些伪代码来尝试让事情变得更清晰。您正在跟踪图中存在流量大于 0 的边缘的边缘。当您提取路径时，流量会减少，因此边缘将逐渐消失，直到最后所有边缘都消失（假设流程图中没有循环）。正常的最大流算法不会在流图中生成循环，因为它们搜索简单的增广路径。 （简单意味着顶点在路径中不重复）

彼得，很抱歉耽搁了这么久。我正在考虑您的答案并尝试实施它，同时我不得不旅行。假设我使用 Edmonds-Karp 方法来获得最大流量，这意味着对于我找到的每条增广路径，我将改变其中每条边 (u, v) 的方向（或将 (v, u) 的容量增加 1 )，所以我有可能找到两条具有相同边缘的增广路径（我什至发现了一个发生这种情况的实例）。如何在算法期间/之后检测流 > 0 的这些边缘？再次感谢并为给您带来的不便深表歉意。

@Marco 您需要通过计算沿每条边的净流量，将 Edmonds-Karp 的输出转换为真实的流程图。此净流量将增加 1,0 或 -1，因为您的边的权重均为 1。将 +1 流量转换为流量（u，v）=1，将 -1 流量转换为流量（v，u）=1。此时您应该能够使用我上面描述的算法。如果不清楚，如果您可以发布您的 Edmonds-Karp 代码可能会有所帮助，以便我可以根据您程序中的变量描述此过程。

终于成功了，谢谢！如果有人遇到同样的问题，只是为了澄清整个算法：1）在你的图中运行 Edmonds-Karp，保持增广路径及其容量。 2）创建一个新图，弧容量= 0，它将是包含真实流的图（我们称之为真实图）。 3) 对于每个增广路径中的每个弧(v, u)，将路径的容量求和到(v, u) 并从(u, v) 中减去，两者都在真实图上。 4）从真实图中删除所有容量