让 Facebook 广告成为最大流量问题

Posted 2023-02-19

【中文标题】让 Facebook 广告成为最大流量问题

【英文标题】：Making Facebook ads a Maximum Flow Problem

【发布时间】：2021-06-07 03:51:40

【问题描述】：

问题

Facebook 拥有各种个人信息，因此可以通过承诺投放针对特定人群的广告来吸引广告商。广告商流口水，准备花大笔钱。现在，Facebook 正试图找出一种有效的方法来向尽可能多的用户投放有针对性的广告。

此过程的第一步是将人们分为人口统计组。在 Facebook 上，这些分类可能基于地理位置、年龄、对某种音乐的兴趣、大学专业等因素。我们假设这一步由数据挖掘组负责，他们已经确定了 k 个人口统计组 G_1、G_2、...、G_k。请注意，这些组可以重叠； G_1 可能是住在贝灵厄姆的人，G_2 可能是喜欢披萨的人，G_3 可能是计算机科学专业的学生。

Facebook 的营销部门正在与 m 个不同的广告商签订合同，向网站用户展示一定数量的广告。与第 i 个广告客户的合同如下所示：

对于人口统计组的子集 X_i = G_1, G_2, ..., G_k，广告商 i 将仅向属于 X_i 中至少一个人口统计组的用户展示其广告

对于数字 r_i，广告商每分钟将向至少 r_i 个用户展示其广告

现在考虑展示广告一分钟的问题。具体来说，您想创建一种方式，在这一分钟内向每个用户展示不超过一个广告，以尽可能多地满足广告合同。假设在给定的一分钟，网站上有 n 个用户，我们知道用户 j 属于人口统计组的特定子集。

您能否将问题表述为最大流量问题，并解释如何确定此时是否有可能向每个用户展示单个广告，从而满足 Facebook 与 m 个广告商中的每个广告商的广告合同？如果可能，您应该解释如何将用户与广告配对以满足合同。

注意：在描述如何使这个问题成为最大流问题时，请给出图的结构（节点和边是什么）、这些边的容量以及源和汇。

我的困惑： 我真的很想从哪里开始解决这个问题。

可以肯定的是，来源应该是广告，出边指向容量为 1 的每个人。（此时这是针对每个用户的单个广告）

这似乎也可能存在一个二分匹配图结构，人们指向他们所在的类别。

但是，我很困惑是否有多个不同的顾问适合所有这些。

但是，我上面所有的想法都可能是错误的，我真的很挣扎。

【参考方案1】：

这可以通过推广最大流量来解决：最小成本流量。由于问题陈述中的这句话，我不相信这可以用香草最大流量来解决，

具体来说，您希望创建一种方式，在此时向每个用户展示不超过一个广告，以尽可能多地满足广告合同。

为了满足这个陈述，在最大流量问题中连接到广告商的每条边都需要一个最小容量（在某些文本 [1] 中，这仍然被认为是最大流量问题的一个小变化。）也就是说，即使它可以作为一个 maxflow 来解决，MCF 公式是一种更自然、更简单的工具，因为您可以轻松地将其扩展为包含每个合约的（整数）值，从而使每分钟的利润最大化。

解决这个问题的MCF是一个简单的层图：

s -> A -> G -> U -> t

其中s 是源，t 是汇，A 是广告商层，G 是人口统计组层，U 是用户层。 -> 符号表示从上一层到下一层有定向节点。除非另有说明，否则每条边的成本为0，容量为1。

将来自s -> A_i 的边与容量r_i 和一些较大的负常数M 放在一起作为代价。还从 s -> A_i 添加一条边，成本为 0，容量无限。这些边集确保我们通过以-M > 0（成本为M < 0）奖励每个合约来满足尽可能多的合约。请注意，对我们而言，每个合同的自然扩展是 M_i，这反映了它对 Facebook 的实际价值。

如果A_i 对人口统计组感兴趣，则放置来自A_i -> G_j 的边。将每条边的容量设置为无限，将权重/成本设置为 0。

如果用户 u_k 属于人口统计组 G_j，则从 G_j -> u_k 放置边。将容量设置为1，将成本设置为0。

将来自u_k -> t 的边与容量1 和成本0 放置在一起，以确保每个用户只能看到一个广告。

使用任何最小成本流算法解决此网络流问题，并使用流直接告诉您在给定约束条件下可以满足多少合同。

[1]https://courses.engr.illinois.edu/cs498dl1/sp2015/notes/25-maxflowext.pdf