带加权边缘的最大分布

Posted 2023-02-19

【中文标题】带加权边缘的最大分布

【英文标题】：maximum distribution with weighed edges

【发布时间】：2014-07-06 13:56:37

【问题描述】：

想象一个图，其中每个顶点都有一个值（例如，石头的数量）并通过边连接，这表示在石头中遍历该边的成本。我想找到尽可能多的石头，使得每个顶点 Vn >= 这个值。顶点可以与其他顶点交换石头，但交换的价值会减去距离或连接它们的边的权重

我需要以贪心算法和 O(n) 复杂度来解决这个问题，其中 n 是顶点的数量，但我在识别子问题/贪心选择时遇到了问题。我希望有人可以提供垫脚石或一些关于如何完成此任务的提示，非常感谢

【问题讨论】：

一些初步想法：顶点值的平均值是您可以达到的理论最大值。具有最小值的顶点决定了整体质量。也许这个顶点应该从最富有的邻居那里拿走石头？这可能不是那么微不足道（也不是O(n)）。每次运输石头，最大质量都会降低edge_weight/n。在我的思考中，我一次又一次地偶然发现了寻路。也许 Dijkstra 的变体可能会有所帮助（Dijkstra 使用贪婪策略）。

是的，但在我看之前，我需要确定子问题，我还没有能够

【参考方案1】：

问题总结

我不确定我是否正确理解了这个问题，所以我先总结一下我的理解。

我们有一个带有顶点 v1、v2、..、vn 和加权边的图。设 vi 和 vj 之间的权重为 W[i,j]

每个顶点都以一些石头开始，让我们称顶点vi上的石头数量等于A[i]

您希望执行多次传输以最大化 min(A[i] for i = 1..n) 的值

如果 x>W[i,j]，x 石头可以在 vi 和 vj 之间转移，这个操作将值转换为：

 A[i] -= x
 A[j] += x-W[i,j]  # Note fewer stones arrive than leave

这对吗？

响应

我相信这个问题是 NP 难的，因为它可以用来解决 3-SAT，一个已知的 NP 完全问题。

对于带有 M 子句的 3-sat 示例，例如：

(A+B+!C).(B+C+D)

构造一个有向图，每个子句有一个节点（没有石头），每个变量有一个节点，有3M+1个石头，每个变量有两个辅助节点，有1个石头（一个代表具有正值的变量, 1 表示具有负值的变量。

然后连接节点如下图：

当且仅当 3-sat 是可溶的，该图将有一个所有顶点的值 >= 1 的解。

关键是每个红色节点（例如对于变量 A）只能将石头发送到 A=1 或 A=0，但不能同时发送。如果我们向绿色节点 A=1 提供石头，那么该节点可以向所有积极使用该变量的蓝色子句提供石头。

（您最初的问题不涉及有向图，但我怀疑这种额外的更改会对问题的复杂性产生重大影响。）

总结

恐怕这个问题很难得到 O(n) 的解决方案。