如何获得在图中将某个节点彼此断开连接的最小成本

Posted 2023-02-19

【中文标题】如何获得在图中将某个节点彼此断开连接的最小成本

【英文标题】：How to get the minimum cost of disconnecting some node from each other in a graph

【发布时间】：2012-05-06 03:36:21

【问题描述】：

在给定的图中，我想计算在图中断开某个节点的最小成本。示例： 在此图中，假设我想通过删除这些节点之间的一些边来断开 node A、node C 和 node F 彼此的连接。即通过删除edge A-B 和edge F-E，节点A、C 和F 将断开连接。这里的成本是指被移除的边缘的长度。在此示例中，将Node A、Node C 和 Node F 彼此断开的总最小成本为 2+1=3。 有人可以提供一些提示。我无法对这个问题进行分类，这是shortest path problem还是minimum spanning tree problem？

【问题讨论】：

我认为，唯一的办法就是暴力搜索。

@Anton：请不要这么说:(。我无法想象我的生活是蛮力的。

【参考方案1】：

这称为多终端切割问题。不幸的是，似乎没有***条目。问题是，给定一个加权图和一个称为终端的顶点子集，计算边的最小权重集，其移除会断开每对终端的连接。坏消息是这个问题是 NP 难的，所以如果你真的需要一个不能被暴力破解的实例的最优解，你可能不得不求助于整数编程。好消息是有一个简单的 2 逼近算法（不是已知的最佳因子，但您可能需要复习线性规划并阅读研究文献以使用“更好”的），这可以通过采取st 切割的联合将每个终端与其他终端分开。

【讨论】：

Karger 的算法在这里不起作用，因为它（希望）给出了全局切割，而不是分开两个特定顶点的切割。

我应该从哪里开始？

嗯，这取决于您的实例有多大以及您对最佳解决方案的渴望程度。

我的图是一个大图，最多有 100,000 个节点。

这是一个非常大的实例，所以我建议您进行近似。复杂的部分是计算 s-t 最大流量/最小削减。 Andrew V. Goldberg 有一个他的 push-relabel 算法的有效实现，但它是用 C 编写的。我不确定是否有人将它移植到 Java。算法本身在 Goldberg 与 Robert Tarjan 的 JACM 论文中进行了描述，而在 Cherkassky-Goldberg 中的启发式方法进行了描述。近似算法归功于 Dahlhaus 等人，并且在 Williamson 和 Shmoys 关于近似算法的文本中有很好的描述。