为啥代码的时间复杂度为 O(log n)？

Posted 2023-02-19

【中文标题】为啥代码的时间复杂度为 O(log n)？

【英文标题】：Why is Time complexity of the code O(log n)?为什么代码的时间复杂度为 O(log n)？

【发布时间】：2018-03-19 04:12:48

【问题描述】：

这是 Gayle Laakmann 在“Cracking the Coding Interview”一书中给出的代码。这里找代码的时间复杂度：-

int sumDigits(int n)
 int sum=0;
 while(n >0)

    sum+=n%10;
    n/=10

return sum ;

我知道时间复杂度应该是n的位数。

根据本书，它的运行时间复杂度是 O(log n)。书提供了简要说明，但我不明白。

【问题讨论】：

n 的位数为 log n。 （或者足够接近 O 复杂度的近似值。）

n 不减 1，因此不是线性的。循环中的每一次通过，n 都会减少一个数量级

Code complexity的可能重复

【参考方案1】：

while(n > 0)

    sum += n % 10;
    n /= 10;

那么，这个 while 循环需要多少步才能使 n 变为 0？你在每一步中所做的，你将n 与10 分开。所以，你需要这样做k 次才能来到0。注意，k 是n 的位数。

让我们一步一步来： 第一步是当n > 0 时，你将n 除以10。如果n 仍然是正数，则将其除以10。你得到的是n/10/10 或n / (10^2)。第三次之后，它的n / (10^3)。在k次之后，它的n/(10^k) = 0。循环将结束。但这不是数学意义上的0，而是0，因为我们处理的是整数。你真正拥有的是|n|/(10^k) < 1，其中k∈N。

所以，我们现在有了这个：

n/(10^k) < 1
n < 10^k
logn < k

顺便说一句。它也是n/(10^(k-1)) > 1，所以它：

k-1 < logn < k。 （顺便说一句。别忘了，这是基础10）。

所以，您需要执行logn + 1 步骤才能完成循环，这就是为什么它是O(log(n))。

【讨论】：

感谢 Adnan 的完美回答。

【参考方案2】：

逻辑运行的次数是 log(n) 以 10 为底，这与 (log(n) 以 2 为底)/(log (10) 以 2 为底) 相同。就时间复杂度而言，这将只是 O(log (n))。请注意，以 10 为底的 log(n) 是表示 n 中位数的方式。