寻找 Big-O、Omega 和 theta

Posted 2023-02-19

【中文标题】寻找 Big-O、Omega 和 theta

【英文标题】：Finding Big-O, Omega and theta

【发布时间】：2015-05-03 13:16:50

【问题描述】：

我已经浏览了这些链接，但我太脑残了，无法理解找出它们的机械过程。我了解 O、theta 和 omega 的概念，并且我了解“规则”。所以让我和你们一起研究这个例子，让我在脑海中弄清楚这一点:)

f(n) = 100n+logn

g(n) = n+(logn)2

我需要找出：f = O(g)，还是 f = Ω(g)，或者两者兼有（在这种情况下，f = Θ(g)）

所以我知道 100n 和 n 是相同的，它们都比 log(n) 慢。我只需要弄清楚 (log(n))^2 是慢还是快。但我真的不记得有关日志的任何内容。如果 log(n) 越大，是否意味着数字变大或变小？

请允许我补充一下，我真正的困难在于弄清楚 omega 和 theta。根据定义 f(n)

【问题讨论】：

Windows 计算器具有日志功能。记录一些 n，看看你得到了什么结果。至于log函数是什么：y = log(x)。 10^y = x。您可以使用其他底座，将 10 替换为您正在使用的任何底座。除了 2 和 e 之外，我从未见过其他值。 （后者称为自然对数。）

【参考方案1】：

你不需要记住规则，而是学习一般原则。

在这里，你只需要知道 log(n) 是无限增加和增长的，还有 big-O 的定义，即 f = O(g) 如果有 ac 使得对于所有足够大的 n，f (n)

log^2(n) 可以是 O(log(n)) 吗？这将意味着（使用 big-O 的定义）对于所有足够大的 n，log^2(n)

log(n) 可以是 O(log^2(n)) 吗？好吧，在某些时候 log(n) > 1（因为它无限增加），从那时起，log(n)

(*) 如果您格外小心，则需要排除 log(n) 无限多次为零的可能性。

【参考方案2】：

你通常可以从这些规则中弄清楚：

广泛k < log(n)^k < n^k < k^n。您可以在每个步骤中将k 替换为您想要的任何正数，并且对于足够大的n，它仍然适用。

如果x 很大，那么1/x 非常接近0。

对于正的x 和y，x < y 当且仅当log(x) < log(y)。 （有时记录日志可以帮助处理复杂和凌乱的产品。

log(k^n) = log(k) n.

对于 O、theta 和 omega，您可以忽略所有内容，除了不会抵消的最大项。

规则 1 和 5 足以解决您的具体问题。但是要学习所有的规则。