使用 Dijkstra 计算的算法

Posted 2023-02-19

【中文标题】使用 Dijkstra 计算的算法

【英文标题】：An algorithm using Dijkstra to calculate

【发布时间】：2021-12-24 05:27:16

【问题描述】：

给定一个有向图 G = (V, E)，边权重为 w:E 到 R+。

该图表示布鲁克林的道路，每条边上的权重表示道路的长度（以英里为单位）。奖品放置在节点 t（在 V 中）。给定的是V中的一组节点A（A是V的一个子集），以及一个函数s:A到R+。

在 A 中的每个 v 中都有一个玩家。游戏开始时，所有玩家同时离开，前往奖品。

每个玩家都沿着从其起始节点到 t 的最短路径前进。离开节点 v 的玩家以恒定速度 s(v) 前进， 即，对于 E 中的每个 e，该玩家需要 w(e)/s(v) 时间单位才能过马路 e。

建议一种返回获胜者的有效算法。

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我的尝试：

算法：

在 A 中的某个节点 v 上运行 Dijkstra，并启动一个大小为 |A| 的数组（每个玩家）。 对于 A 中的每个 v，迭代从 v 到 t 的最短路径，并在每次迭代中将 w(e)/s(v) 添加到数组中此特定节点的总和。 返回数组的最小值。

我认为这可以改进，例如将数组替换为其他数据结构，这将使最后一步更有效率，但我不知道如何。

我将不胜感激！

谢谢！

【参考方案1】：

您可以通过从目标节点t 运行一次 Dijkstra 算法来计算所有往返 t 的最短路径。您正在寻找Distance(a, t) / Speed(a) 的最小值，在所有a ∈ A 中，其中距离是来自 Dijkstra 算法的标准边权重总和。由于原始图是有向图，因此您需要先反转所有边的方向并处理该图。

如果“A”很小，您偶尔可以通过在访问 A 中的所有节点后立即停止 Dijkstra 算法来稍微优化它，尽管最坏情况的运行时间是相同的。

【讨论】：

如果没有从 t 到其他人的边会怎样？这是一个有向图，每条边都可以指向 t 而不是来自它。

感谢您的回答！在这种情况下，您是否需要翻转 G 中的边缘才能在 t 上执行 Dijkstra？

@Math4me 感谢您的关注；我错过了有向图的细节。在这种情况下，您确实需要先翻转所有边并处理该图。