检测图中是不是存在负循环的最快算法

Posted 2023-02-19

【中文标题】检测图中是不是存在负循环的最快算法

【英文标题】：Fastest algorithm to detect if there is negative cycle in a graph检测图中是否存在负循环的最快算法

【发布时间】：2013-05-29 16:52:09

【问题描述】：

我使用矩阵d 来呈现图表。 d.(i).(j) 表示i 和j 之间的距离； v 表示图中的节点数。

这个图中可能存在负循环。

我想检查是否存在负循环。我从Floyd-Warshall 的变体中写了如下内容：

let dr = Matrix.copy d in

(* part 1 *)
for i = 0 to v - 1 do
  dr.(i).(i) <- 0
done;

(* part 2 *)
try
  for k = 0 to v - 1 do
    for i = 0 to v - 1 do
      for j = 0 to v - 1 do
          let improvement = dr.(i).(k) + dr.(k).(j) in  
          if improvement < dr.(i).(j) then (
          if (i <> j) then
            dr.(i).(j) <- improvement
          else if improvement < 0 then
            raise BreakLoop )
      done
    done
  done;
  false
with 
  BreakLoop -> true

我的问题是

上面的代码正确吗？ part 1 有用吗？

因为我经常调用这个函数，我真的想让它尽可能快。所以我的 3) 问题是其他算法（尤其是Bellman-Ford）是否可以比这更快？

【参考方案1】：

虽然Timothy Shield's answer 中列出的选项都是在有向加权图中找到负循环的正确算法，但它们并不是最快的。

在这种情况下，我的首选算法始终是 Shortest Path Faster Algorithm。

尽管它的最坏情况时间复杂度为O(|V|*|E|)，与 Bellman-Ford 相同，但 SPFA 实际达到该时间的图很少。在实践中，它要快得多，甚至达到（未经证实的）平均时间 O(|E|)。

我在my blog写了一篇文章，解释了使用SPFA寻找负循环的细节。

如果你不想看全文，你需要的伪代码如下。

function SPFA(G):
    for v in V(G):
        len[v] = 0
        dis[v] = 0
        Queue.push(v)
    while !Queue.is_empty():
        u = Queue.pop()
        for (u, v) in E(G):
            if dis[u] + w(u, v) < dis[v]:
                len[v] = len[u] + 1
                if len[v] == n:
                    return "negative cycle detected"
                dis[v] = dis[i] + w(u, v)
                if !Queue.contains(v):
                    Queue.push(v)
    return "no negative cycle detected"

【参考方案2】：

关于你的代码正确性的第一个问题更适合http://codereview.stackexchange.com。

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Bellman-Ford 或 Floyd-Warshall 中的任何一个都适合此问题。性能比较如下：

Bellman-Ford（***） 时间复杂度：O(|V|*|E|) 空间复杂度：O(|V|) The section on "Finding negative cycles"是你想要的 Floyd-Warshall（***） 时间复杂度：O(|V|^3) 空间复杂度：O(|V|^2)

由于|E| 以|V|^2 为界，Bellman-Ford 显然是赢家，我建议您使用它。

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如果图没有负循环是预期的正常情况，那么作为算法的第一步进行快速检查可能是合适的：图是否包含任何负边？如果不是，那么它当然不包含任何负循环，并且您有一个O(|E|) 最佳情况算法来检测是否存在任何负循环。

【讨论】：

感谢您的评论...由于我对图形的唯一表示是矩阵，因此 Bellman-Ford for each edge (u, v) with weight w in edges: wiki 页面中的步骤仍然需要通过两个循环 for i = 0 to v - 1 do for j = 0 to v - 1 do ... 来实现。所以对于我来说，|E| 和 |V|^2 是完全一样的，不是吗？

@SoftTimur 哦，我错过了关于您使用图表矩阵的部分。在那种情况下，是的，它们是相同的。 :) 考虑到这一点，我仍然会说 Bellman-Ford 有 轻微 优势，因为空间复杂性较小，但我同意你可以使用任何一个。

如果从源头无法到达负循环，Bellman Ford 将不会检测到负循环。