Dijkstra vs. Floyd-Warshall：在所有节点对上寻找最优路径

Posted 2023-02-19

【中文标题】Dijkstra vs. Floyd-Warshall：在所有节点对上寻找最优路径

【英文标题】：Dijkstra vs. Floyd-Warshall: Finding optimal route on all node pairs

【发布时间】：2011-05-11 21:03:26

【问题描述】：

我正在阅读 Dijkstra 算法和 Floyd-Warshall 算法。我知道 Dijkstra 找到了从一个节点到所有其他节点的最佳路线，而 Floyd-Warshall 找到了所有节点配对的最佳路线。

我的问题是，如果我在每个节点上运行 Dijkstra 的算法以找到所有配对之间的最佳路线，它会比 Floyd 的算法更有效吗？

Dijkstra 的运行时间为 O(E + VlogV)，而 Floyd 的运行时间为 O(V³)。如果 Dijkstra 失败，在这种情况下它的运行时间是多少？谢谢！

【问题讨论】：

the best shortest path algoritm 的可能重复项

【参考方案1】：

正如其他人指出的那样，Floyd-Warshall 运行时间为 O(n³) 并运行 Dijkstra 从每个节点到另一个节点的搜索，假设您使用斐波那契堆来支持你的 Dijkstra 的实现需要 O(mn + n² log n)。但是，您不能始终在任意图上安全地运行 Dijkstra 算法，因为 Dijkstra 算法不适用于负边权重。

有一个真正了不起的算法，称为 Johnson's algorithm，它是对从每个节点运行 Dijkstra 算法的轻微修改，即使图形包含负边（只要有不是任何负循环）。该算法首先在图上运行Bellman-Ford 以将其转换为没有负边的图，然后从每个顶点开始使用 Dijkstra 算法。因为 Bellman-Ford 运行时间为 O(mn)，所以整体渐近运行时间仍然是 O(mn + n² log n)，所以如果 m = o(n² )（请注意，这是 n 的 little-o），这种方法比使用 Floyd-Warshall 渐近更快。

这里的一个问题是，这假设您拥有由斐波那契堆支持的 Dijkstra 算法。如果您没有可用的斐波那契堆并且不愿意投入 72 小时来构建、调试和测试一个堆，那么您仍然可以为 Dijkstra 算法使用二进制堆；它只是将运行时间增加到 O(m log n)，所以这个版本的 Johnson 算法在 O(mn log n) 中运行。这不再总是比 Floyd-Warshall 渐进快，因为如果 m = Ω(n²) 那么 Floyd-Warshall 运行时间为 O(n³) 而 Johnson 的算法运行在 O(n³ log n) 中。但是，对于 m = o(n² / log n) 的稀疏图，Johnson 算法的这种实现仍然渐近优于 Floyd-Warshall

简而言之：

对于 Fibonacci 堆，Johnson 的算法总是渐近地至少与 Floyd-Warshall 一样好，尽管它更难编码。 对于二叉堆，Johnson 算法通常在渐近上至少与 Floyd-Warshall 一样好，但在处理大型密集图时不是一个好的选择。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

+ 用于提及约翰逊的算法

9 年半后......很好的答案。这几天我一直在寻找这个。谢谢@templatetypedef

【参考方案2】：

在所有节点上运行 Dijkstra 的复杂度为 O(EV + V²logV)。这个复杂度低于 O(V³) 当且仅当 E 2。

【讨论】：

这是真的。但是请注意，Floyd-Warshall 在内循环中执行的操作很少，因此在实践中，Floyd-Warshall 可能会比 Dijkstra 运行得更快，因为所有对最短路径。

请注意，E

【参考方案3】：

这取决于。为所有节点运行 Dijkstra 会给你O(VE + V^2log V)，而 Floyd 的则是O(V^3)。如果E = O(V^2)，那么两者在理论上是相同的，而弗洛伊德在实践中更快。如果你E = O(V)，那么如果理论上和实践都更好，那么为所有节点运行 Dijkstra。

基本上，如果您希望拥有与节点数量一样多的边，则从所有节点运行 Dijkstra；如果您希望拥有几乎完整的图，则运行 Floyd。

【讨论】：

为什么是run Floyd if you expect to have almost complete graphs？在这两种情况下运行 Dijkstra，速度有什么区别？为什么要让算法更难？

@Saeed - 因为在实践中，弗洛伊德应该更快（虽然我还没有测试过），因为V^2log V 术语。而且 Floyd 比最佳 Dijkstra 更容易实现，所以如果你只想使用一个，你不妨使用 Floyd。

@IVlad 我没有关注这个。 dijkstra 如果使用无序数组而不是堆天真地实现，将在 o(v^2) 时间内执行（每个节点最多有 v 个邻居）。对每个节点执行一次，导致 o(n^3) 时间。 Floyd 的真正优势似乎是它处理负边缘的能力（在其他 cmets 中表示）

【参考方案4】：

对于所有对最短路径，几乎没有 Floyd-Warshall 比 Dijkstra 更快（通常！！）