通过替换求解递归 T(n) = 2T(n/2) + Θ(1)

Posted 2023-02-19

【中文标题】通过替换求解递归 T(n) = 2T(n/2) + Θ(1)

【英文标题】：Solving recurrence T(n) = 2T(n/2) + Θ(1) by substitution

【发布时间】：2014-11-09 14:19:18

【问题描述】：

所以我很确定它是 O(n)（但可能不是？），但是你如何通过替换来解决它？

如果假设 T(n)

【问题讨论】：

告诉我们你为什么认为它是 O(n)

实际上，也许它必须更大？因为如果你替换 O(n)，你最终会得到 T(n)

尝试解决两个稍微简单的问题：T(n) = 2 * T(n/2) 和 T(n) = T(n/2) + O(1)。这些问题中哪一个最像你的？你能把结果应用到你的问题上吗？

【参考方案1】：

首先，我想清楚地假设 Θ(1)=k，某个常数。

接下来，使用替换法，我们得到

 T(n)=2T(n/2)+Θ(1)
     =2T(n/2)+k
     =22T(n/4)+k)+k
     =4T(n/4)+3k
     =...
     =n.T(1)+(n-1)k
     =n.k+(n-1)k
     =2nk-k
     =O(n).

如果你假设它是T(n) <= c * n，你应该从 T(1) 开始并假设 T(n) 是正确的，然后继续使用 T(n+1) 来证明它是正确的T(n) 的假设。

顺便说一句，你的假设是正确的！

【讨论】：

第5行之后，泛化应该是2^m T(n/2^m) + (2^m - 1)k。现在要生成T(1)，我们让2^m = n 得到第6 行。

【参考方案2】：

为简单起见，我们假设 O(1) 项隐藏了一些常数 c，所以递归是真的

T(n) = 2T(n/2) + c

为了简单起见，我们还假设 T(1) = c。

您正在冒险（正确）猜测

T(n)

对于一些常数 a 和 b。让我们尝试归纳地证明这一点。

对于 n = 1，我们需要 a 和 b 满足

c

对于归纳步​​骤，我们想要

T(n)

代入我们的猜测得到

T(n)

= an + 2b + c

请注意，如果 2b + c = b，则该表达式的左侧将是 an + b，即我们需要的上限。因此我们需要选择 a 和 b 使得

c

2b + c = c

在这里可行的一个可能选择是 a = 2c 和 b = -c，给出 T(n)

希望这会有所帮助！

【参考方案3】：

Master's theorem 非常适合这个问题：

比较给定的方程

T(n) = 2T(n/2) + c

用公式

T(n) = aT(n / b) + (n^k log^p n) 其中 a >= 1, b > 1, k >= 0 且 p 是实数

我们可以说它满足条件 a > b^k 因为 a = 2, b = 2 和 k = 0 所以，T(n) = θ(n^{log _b a}) = θ(n)