如何计算将字符串转换为回文所需的字符数？

Posted 2023-02-19

【中文标题】如何计算将字符串转换为回文所需的字符数？

【英文标题】：How can I compute the number of characters required to turn a string into a palindrome?

【发布时间】：2011-01-15 06:33:35

【问题描述】：

我最近发现了一个竞赛问题，要求您计算必须在字符串中（任意位置）插入的最小字符数，以将其转换为回文。

例如，给定字符串：“abcbd”，我们可以通过仅插入两个字符将其变成回文：一个在“a”之后，另一个在“d”之后：“adbcbd一个”。

这似乎是一个类似问题的概括，它要求相同的东西，除了字符只能在末尾添加 - 这有一个使用哈希表在 O(N) 中非常简单的解决方案。

我一直在尝试修改Levenshtein distance algorithm 来解决这个问题，但没有成功。任何关于如何解决这个问题的帮助（它不一定要高效，我只对任何 DP 解决方案感兴趣）将不胜感激。

【问题讨论】：

@IVlad - 很好的问题。我删除了介绍位，并添加了指向 Levenshtein 上的 Wikipedia 文章的链接。希望没关系。欢迎使用 Stack Overflow！

我忘了问，这是作业吗？

不是作业。这是几年前在我国的计算机科学奥林匹克竞赛中提出的问题，我只是对解决方案感兴趣，因为我找不到官方解决方案，也找不到自己的 DP。

在这里查看我对一个非常相似的问题的回答：***.com/a/18758991/2771718 它使用 DP 方法。

【参考方案1】：

注意：这只是一个好奇心。 Dav 提出了一种算法，该算法可以修改为 DP 算法，以便在 O(n^2) 时间和 O(n^2) 空间中轻松运行（并且可能在 O(n) 时更好地记账）。

当然，如果您决定更改允许的操作，这种“幼稚”算法实际上可能会派上用场。

---

这是一个“幼稚”的算法，通过巧妙的记账可能会更快。

给定一个字符串，我们猜测结果回文的中间部分，然后尝试计算使字符串围绕该中间部分成为回文所需的插入次数。

如果字符串的长度为 n，则有 2n+1 个可能的中间（每个字符，在两个字符之间，就在字符串之前和之后）。

假设我们考虑一个中间，它给了我们两个字符串 L 和 R（一个到左，一个到右）。

如果我们使用插入，我相信Longest Common Subsequence 算法（这是一种 DP 算法）现在可以用于创建一个包含 L 和 R 反转的“超级”字符串，请参阅Shortest common supersequence。

选择中间插入数量最少的。

我相信这是 O(n^3)。 （注意：我没有尝试证明它是真的）。​​

【讨论】：

例如，如果将回文以字符 k 为中心，如何使用 SCS 找出需要多少次插入？对于我的示例：“abcbd”。假设我们以第二个“b”为中心。 “abc”和“d”之间的 SCS 是“abcd”。这如何告诉您需要插入多少个字符？我认为它是 2*strlen(SCS) - strlen(L) - strlen(R)，对吗？

【参考方案2】：

C# 添加到字符串末尾的递归解决方案：

有 2 个基本情况。当长度为 1 或 2 时。递归情况：如果极值相等，则 使回文成为没有极端的内部字符串，并返回带有极端的字符串。 如果极值不相等，则将第一个字符添加到末尾并使回文为 包含前一个最后一个字符的内部字符串。归还。

public static string ConvertToPalindrome(string str) // By only adding characters at the end
    
        if (str.Length == 1) return str; // base case 1
        if (str.Length == 2 && str[0] == str[1]) return str; // base case 2
        else
        
            if (str[0] == str[str.Length - 1]) // keep the extremes and call                
                return str[0] + ConvertToPalindrome(str.Substring(1, str.Length - 2)) + str[str.Length - 1];
            else //Add the first character at the end and call
                return str[0] + ConvertToPalindrome(str.Substring(1, str.Length - 1)) + str[0];
        
    

【参考方案3】：

我的 C# 解决方案在字符串中查找重复字符并使用它们来减少插入次数。在像 program 这样的词中，我使用 'r' 字符作为边界。在 'r's 内部，我将其设为回文（递归地）。在'r'之外，我镜像左右的字符。

一些输入有不止一个最短输出：输出可以是toutptuot或outuputuo。我的解决方案只选择其中一种可能性。

一些示例运行：

雷达 -> 雷达，0次插入 esystem -> metsystem，2 次插入 message -> megassagem，3 次插入 stackexchange -> stegnahckexekchangets，8 次插入

首先我需要检查输入是否已经是回文：

public static bool IsPalindrome(string str)

    for (int left = 0, right = str.Length - 1; left < right; left++, right--)
    
        if (str[left] != str[right])
            return false;
    
    return true;

然后我需要在输入中找到任何重复的字符。可能不止一个。 message 一词有两个重复次数最多的字符（'e' 和 's'）：

private static bool TryFindMostRepeatedChar(string str, out List<char> chs)

    chs = new List<char>();
    int maxCount = 1;

    var dict = new Dictionary<char, int>();
    foreach (var item in str)
    
        int temp;
        if (dict.TryGetValue(item, out temp))
        
            dict[item] = temp + 1;
            maxCount = temp + 1;
        
        else
            dict.Add(item, 1);
    

    foreach (var item in dict)
    
        if (item.Value == maxCount)
            chs.Add(item.Key);
    

    return maxCount > 1;

我的算法在这里：

public static string MakePalindrome(string str)

    List<char> repeatedList;
    if (string.IsNullOrWhiteSpace(str) || IsPalindrome(str))
    
        return str;
    
    //If an input has repeated characters,
    //  use them to reduce the number of insertions
    else if (TryFindMostRepeatedChar(str, out repeatedList))
    
        string shortestResult = null;
        foreach (var ch in repeatedList) //"program" ->  'r' 
        
            //find boundaries
            int iLeft = str.IndexOf(ch); // "program" -> 1
            int iRight = str.LastIndexOf(ch); // "program" -> 4

            //make a palindrome of the inside chars
            string inside = str.Substring(iLeft + 1, iRight - iLeft - 1); // "program" -> "og"
            string insidePal = MakePalindrome(inside); // "og" -> "ogo"

            string right = str.Substring(iRight + 1); // "program" -> "am"
            string rightRev = Reverse(right); // "program" -> "ma"

            string left = str.Substring(0, iLeft); // "program" -> "p"
            string leftRev = Reverse(left); // "p" -> "p"

            //Shave off extra chars in rightRev and leftRev
            //  When input = "message", this loop converts "meegassageem" to "megassagem",
            //    ("ee" to "e"), as long as the extra 'e' is an inserted char
            while (left.Length > 0 && rightRev.Length > 0 && 
                left[left.Length - 1] == rightRev[0])
            
                rightRev = rightRev.Substring(1);
                leftRev = leftRev.Substring(1);
            

            //piece together the result
            string result = left + rightRev + ch + insidePal + ch + right + leftRev;

            //find the shortest result for inputs that have multiple repeated characters
            if (shortestResult == null || result.Length < shortestResult.Length)
                shortestResult = result;
        

        return shortestResult;
    
    else
    
        //For inputs that have no repeated characters, 
        //  just mirror the characters using the last character as the pivot.
        for (int i = str.Length - 2; i >= 0; i--)
        
            str += str[i];
        
        return str;
    

请注意，您需要一个 Reverse 函数：

public static string Reverse(string str)

    string result = "";
    for (int i = str.Length - 1; i >= 0; i--)
    
        result += str[i];
    
    return result;