在 Big-O 术语中，如果 O(n-1) 与 O(n) 相同，那么为啥在主定理中 T(n-1) 不等于 T(n)？

Posted 2023-02-19

【中文标题】在 Big-O 术语中，如果 O(n-1) 与 O(n) 相同，那么为啥在主定理中 T(n-1) 不等于 T(n)？

【英文标题】：In Big-O terms if O(n-1) is the same thing as O(n) then why in the master theorem is T(n-1) not equal T(n)?在 Big-O 术语中，如果 O(n-1) 与 O(n) 相同，那么为什么在主定理中 T(n-1) 不等于 T(n)？

【发布时间】：2020-10-19 04:07:33

【问题描述】：

好的，所以我对 CS 很陌生，最近正在学习 Big-O、Theta 和 Omega 以及主定理，在讲座中我看到由于某种原因并非如此，我想知道为什么会这样那个？

【问题讨论】：

一个 O(whatever) 计算可以指定一个最小值 n 为性能界限成立。因此，对于退化情况，例如尝试在 N 为 1（但 lgN 为零）时执行 NlgN 排序时，不存在预测不可能的低时间的问题。

此外，Big-O 是关于算法行为的极限，因为数量接近无穷大。 Infinity = infinity -1 = infinity/2 所以 O(n) = O(n-1) = O(n/2) 但主定理是关于如何为算法完成的工作量建立递推关系 -它与接近无穷大的极限无关，因此您不能使用无穷大允许的简化。

哦，这很有道理。谢谢！

【参考方案1】：

虽然 O(n) 和 T(n) 都在外面使用大写字母，在中间使用小写 n，但它们代表的概念完全不同。

如果您使用递归关系分析算法，通常让 T(n) 表示算法在大小为 n 的输入上完成所需的时间量。因此，我们不希望 T(n) 与 T(n-1) 相同，因为在大多数情况下，当您提供更大的输入时，算法运行时间会更长。

更一般地说，对于 any 函数 f，如果你想声明 f(n) = f(n-1)，你需要解释为什么你可以假设这个，因为这通常不是这样的。

这里的棘手之处在于，当我们编写 O(n) 时，看起来我们正在编写一个名为 O 的函数并传入参数 n，但符号的含义完全不同。符号 O(n) 是“某个函数，当输入变得非常大时，从上面以 n 的倍数为界”的占位符。类似地，O(n-1) 的意思是“某个函数，当输入变得非常大时，从上面以 n-1 的倍数为界。”碰巧任何以 n 的倍数为界的函数也以 n-1 的倍数为界，这就是为什么 O(n) 和 O(n-1) 表示同一事物的原因。

希望这会有所帮助！