硕士定理 f(n)=log n

Posted 2023-02-19

【中文标题】硕士定理 f(n)=log n

【英文标题】：Master's theorem with f(n)=log n

【发布时间】：2013-03-22 01:30:45

【问题描述】：

对于大师定理T(n) = a*T(n/b) + f(n)我用了3个案例：

如果a*f(n/b) = c*f(n) 是一些常数c > 1 然后T(n) = (n^log(b) a) 如果a*f(n/b) = f(n) 那么T(n) = (f(n) log(b) n) 如果a*f(n/b) = c*f(n) 是一些常数c < 1 然后T(n) = (f(n))

但当f(n) = log n 或n*log n 时，c 的值取决于 n 的值。如何使用大师定理求解递归函数？

【参考方案1】：

通常，f(n) 必须是多项式才能应用主定理 - 它不适用于所有函数。然而，主定理有一个有限的“第四种情况”，它允许它应用于多对数函数。

如果 f(n) = O(n^log_ba log^k n), 然后 T(n) = O(n^log_ba log ^k+1 n).

换句话说，假设你有 T(n) = 2T (n/2) + n log n。 f(n) 不是多项式，而是 f(n)=n log n，并且 k = 1。因此，T(n) = O(n log² n)

有关更多信息，请参阅此讲义：http://cse.unl.edu/~choueiry/S06-235/files/MasterTheorem-HandoutNoNotes.pdf

【参考方案2】：

您可能会发现the Wikipedia article on the Master theorem 中的这三个案例更有用：

案例 1：f(n) = Θ(n^c)，其中 c b a 案例 2：f(n) = Θ(n^c log^k n)，其中 c = log_b a 案例 3：f(n) = Θ(n^c)，其中 c > log_b a

现在不再直接依赖于 n 的选择——重要的是 f 的长期增长率以及它与常数 a 和 b 的关系。如果没有看到您尝试解决的特定重复发生的更多细节，我无法提供任何更具体的建议。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

所以对于 f(n) = log n 和 a!=b 的情况，它不适合第二种情况，因为 c 和 k 必须为 1，但它会给出函数n*log n。那么如何检查此功能的适用位置？抱歉问了这么多问题。

请注意，对于任何常数 c，log n 都不是 Theta(n^c)。这里唯一可行的情况是中间的情况，如果你有 a = b，它可能会起作用。如果 a != b，那么您不能直接应用 Master 定理来解决递归问题，而必须找到替代方法。

这正是我想听到的！非常感谢！

但是，如果 f(n) = log(n)，我该如何解决这个函数？我很困惑

不能总是应用主定理。如果它不起作用，则需要使用不同的方法。您要解决什么具体的重复问题？

【参考方案3】：

当 f(n)=log(n) 时，Master 定理不适用。您应该使用更广义的定理，Akra–Bazzi。

结果，T(n)=O(n)。

source.

另一种找到该结果的更具体证明的方法是寻找“最优排序矩阵搜索”算法的计算复杂性的证明。