n 位可以表示多少个值？

Posted 2023-02-18

【中文标题】n 位可以表示多少个值？

【英文标题】：How many values can be represented with n bits?

【发布时间】：2011-04-18 01:35:32

【问题描述】：

比如n=9，那么9个二进制数字（位）可以表示多少个不同的值？

我的想法是，如果我将这 9 位中的每一个都设置为 1，那么我将使这 9 位能够表示的最大数字成为可能。因此，最大值是1 1111 1111，它等于十进制的511。因此，我得出结论，9位二进制可以代表511个不同的值。

我的思维过程正确吗？如果没有，有人可以解释一下我错过了什么吗？如何将其推广到n bits？

【问题讨论】：

512。你忘记了 000000000。

+1 提出了一个很好的家庭作业问题。如果 Stack Overflow 上的所有作业问题都是这样，那将是一个更好的地方。

为什么关闭:(它与“特定时间”无关.....

例如2 pow 3 代表三个占位符（例如 000、001、010、100、101、110、111）的两种组合 (0,1)。如果您有五个位置的 8（八进制 0-7）组合，则可能的组合总数为8 战俘 5.

【参考方案1】：

2⁹ = 512 个值，因为这是您可以拥有的 0 和 1 组合的数量。

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然而，这些值代表什么取决于您使用的系统。如果它是一个无符号整数，您将拥有：

000000000 = 0 (min)
000000001 = 1
...
111111110 = 510
111111111 = 511 (max)

在two's complement（通常用于表示二进制整数）中，您将拥有：

000000000 = 0
000000001 = 1
...
011111110 = 254
011111111 = 255 (max)
100000000 = -256 (min) <- yay integer overflow
100000001 = -255
...
111111110 = -2
111111111 = -1

通常，使用 k 位可以表示 2^k 个值。它们的范围取决于您使用的系统：

无符号：0 到 2^k-1 签名：-2^k-1 到 2^k-1-1

【讨论】：

你提出了一个非常有趣的观点。我没有想到有符号和无符号整数。

但在任何情况下，不同值的数量始终是 2^k

【参考方案2】：

你缺少什么：零是一个值

【参考方案3】：

解决问题的更好方法是从小处着手。

让我们从 1 位开始。可以是1 或0。这是 2 个值，或二进制的 10。

现在是 2 位，可以是 00、01、10 或 11，这是 4 个值，或者是二进制的 100... 看到模式了吗？

【参考方案4】：

好的，既然它已经“泄露”了：你漏掉了零，所以正确答案是512（511 是最大的，但它是 0 到 511，而不是 1 到 511）。

顺便说一句，一个很好的后续练习是概括这一点：

How many different values can be represented in n binary digits (bits)?

【讨论】：

感谢您解释我错过了 0 值。您改写问题的方式肯定会在将来对我有所帮助。

【参考方案5】：

这里不想给你答案就是逻辑。

每个数字都有 2 个可能的值。你有 9 个。

就像在以 10 为基数的情况下，你有 10 个不同的数字值说你有 2 个（从 0 到 99）：0 到 99 有 100 个数字。如果你做计算，你有一个指数函数

base^numberOfDigits:
10^2 = 100 ;
2^9 = 512

【参考方案6】：

有一种更简单的方法来考虑这个问题。从 1 位开始。这显然可以表示 2 个值（0 或 1）。当我们添加一点时会发生什么？我们现在可以表示两倍的值：我们之前可以表示的值附加了 0，而我们之前可以表示的值附加了 1。

所以我们可以用 n 位表示的值的数量只是 2^n（2 的 n 次方）

【参考方案7】：

您缺少的是正在使用的编码方案。有不同的方法来编码二进制数。查看带符号的数字表示。对于 9 位，可以表示的数字的范围和数量会因使用的系统而异。

【讨论】：

表示的数字范围会因编码而异，但无论使用何种编码，可表示的不同值的数量都保持不变

我刚刚在纸上计算出 3 位固定精度来检查自己。无符号和 2 的补码表示可以表示 8 个值。我计算有符号幅度和 1 的补码的 7 个值，因为这些系统具有正零和负零的表示。正负零也算吗？

对于 1 的恭维，正零和负零被视为两个不同的值。我不确定你所说的“有符号幅度”是什么意思，你能详细说明你的意思吗？

@Lie：有人可能会说+0 和-0 是两个不同的基准，它们代表相同的值。使用该术语，k 位序列中的数据数量始终为 2^k，但这些数据可能表示的值的数量小于或等于 2^k。

@Lie Ryan：en.wikipedia.org/wiki/… 我不知道（或忘记...）+0 和 -0 都被计算在内。以后我会记住的。谢谢。