在求解微分方程和绘制速度作为强制项大小的函数时需要帮助

Posted 2023-02-17

【中文标题】在求解微分方程和绘制速度作为强制项大小的函数时需要帮助

【英文标题】：Need help with solving differential equation and plotting velocity as a function of forcing term magnitude

【发布时间】：2011-05-16 17:45:14

【问题描述】：

我需要一些帮助来绘制数学上的混沌振荡器的速度与强制项图。

基本上，我必须解决以下微分方程

x''[t] + b x'[t] - x[t] + x[t]^3 - f Cos[w t] == 0, x'[0] == 0, 
 x[0] == 0

并在区间 [0,1000] 中以 2*Pi 为增量绘制我的解的速度 对于不同的 f 值。

也就是说，对于区间 [0,2] 中的每个 f（以 0.05 为增量），我将有大约 150 个速度点，并且我必须将所有这些点绘制在一张图上。

我虽然关于使用 do 循环并想出了类似的东西

Remove["Global`*"]

b = .1;
w = 1;
Period = 1;
tstep = 2 Pi/Period;

Do[Do[data = 
     Table[Flatten[
       Evaluate[f, 
         x'[t] /. 
          NDSolve[x''[t] + b x'[t] - x[t] + x[t]^3 - f Cos[w t] == 0,
             x'[0] == 0, x[0] == 0, x[t], t, 0, 1000, 
           MaxSteps -> 59999]]], t, 0, 1000, tstep], t, 0, 1000, 
    1], f, 0, 2, .1]

但没有运气。

我该怎么做？

【问题讨论】：

请允许我欢迎您来到 ***，并提醒我们通常在这里做的三件事：1) 当您获得帮助时，请尝试在您的专业领域中回答问题 2）Read the FAQs 3）当你看到好的问答时，给他们投票using the gray triangles，因为系统的可信度是基于用户通过分享他们的知识而获得的声誉。还记得接受更好地解决您的问题的答案，如果有的话，by pressing the checkmark sign

您的替换规则x'[t] /. NDSolve[...] 将不起作用，因为NDSolve 返回x[t] -> ...，但x'[t] 内部具有Derivative[1][x][t] 的形式，这是非常不同的。 （您可以使用FullForm 自行检查。）替换规则完全替换您告诉它的形式，并且可能需要付出很多努力才能让它们进行任何超出基本的转换。这符合基本要求。在这些情况下，FullForm 和 MatchQ 对于确定什么可行和不可行是必不可少的。

收到答复后，您不应该删除您的问题。我已经回滚了您上次执行此操作的编辑。

FP，您的更新只是为了澄清问题，还是希望得到修改后的答案？

【参考方案1】：

这是你想要的吗？

b = .1;
w = 1;

sol := f, 
  NDSolve[x''[t] + b x'[t] - x[t] + x[t]^3 - f Cos[w t] == 0, 
     x'[0] == 0, x[0] == 0, x[t], t, 0, 1000, MaxSteps -> 59999][[1, 1, 2]]

interpsols = Table[sol, f, 0, 2, 0.1];

ListPlot[Table[interpsols, t, 0, 1000, 2 Pi]]

---

解释

首先，让我关注sol。这与您自己的代码很接近（有更改），但为了清晰起见进行了重构，而不是隐藏在循环中。

sol := 等价于 SetDelayed[sol, ... 这包含在右侧给出的未评估定义 因此，NDSolve 操作直到在某处使用 sol 后才会执行

我所做的更改是从NDSolve的结果中提取这部分：

InterpolatingFunction[0.,1000.,<>][t]

我用Part 做这个：NDSolve[...][[1, 1, 2]]

也可以通过x[t] /. First @ NDSolve[...]完成

这个提取的部分与列表中f 的当前值配对：f, NDSolve[ ... ，以便以后可以绘制它们。

现在：

interpsols = Table[sol, f, 0, 2, 0.1];

在全局更改f 的值时，构建sol 的更改值表。这是执行 NDSolve 的地方。

结果是f的每个值的一系列解决方案，格式如下：

0.,InterpolatingFunction[0.,1000.,<>][t],
 0.1,InterpolatingFunction[0.,1000.,<>][t],
 0.2,InterpolatingFunction[0.,1000.,<>][t],
 0.3,InterpolatingFunction[0.,1000.,<>][t],
 0.4,InterpolatingFunction[0.,1000.,<>][t]
 ...

最后：

ListPlot[Table[interpsols, t, 0, 1000, 2 Pi]]

通过评估上面为t 和ListPlots 的全局变化值创建的整个系列结果来创建一个表。

我还有几件事想说，但我没时间了。我会在几个小时后进行进一步的编辑。

【讨论】：

是的，我认为这解决了我的问题。非常感谢！它是如何工作的？

为了纪念他的绰号，巫师先生应该回答-“这很神奇”-

哈哈，是的 还有，为什么点的颜色不一样？是不是因为它们对应的t值相同但f值不同？

两个尼特：f 应该增加 0.05 并且 OP 询问速度。通过在 NDSolve 前面添加 D[#, t]&@ 可以轻松修复第二个 nit。否则，应该可以工作。

哦，我想我明白了，您的 D[#, t]&@ 迭代告诉 Mathematica 对每个 t 值取 NDSolve 解的导数，从而给我每个点的速度。另外，如果我做一个列表线图，我可以看到我的系统对于每个 f 值是如何随时间变化的，因为每条不同的线对应于一组具有相同 f 值但不同时间值的点，对吧？