凸壳算法 - 格雷厄姆扫描最快的比较功能？

Posted 2023-02-17

【中文标题】凸壳算法 - 格雷厄姆扫描最快的比较功能？

【英文标题】：Convex Hull Algorithm - Graham scan fastest compare function?

【发布时间】：2017-01-12 22:05:50

【问题描述】：

我已经实现了 Graham 扫描，但我发现我的程序的瓶颈是排序（80% 的时间）。我想改进它，现在我正在做以下事情：

 std::sort(intersections.begin() + 1, intersections.end(), [&minElement](Point const& a, Point const& b)
 return angle (minElement - a, XAxis) < angle (minElement - b,XAxis););

这给了我准确的角度，但它并不便宜，因为我的角度函数如下所示：

float angle (const Point& v1, const Point& v2) 
    return dot (v1, v2) / (v1.Length () * v2.Length ());

在 Length 函数中，我必须做一个平方根，这是最昂贵的操作之一。但这样我得到了一个很好的订购。

我尝试按 Slope、dot、ccw 对数组进行排序，甚至只从比较中删除 sqrt，但这些都没有为我提供相同的排序。你能给我什么建议吗？

【问题讨论】：

不是答案，但可以用单调链代替格雷厄姆扫描吗？我的意思是，单调链中的排序是通过坐标而不是角度来完成的，这样会快一点。

【参考方案1】：

当您按它们的相对角度对点进行排序时，您不需要知道两个点形成的确切角度。相反，您只需要知道一个点是在另一个点的左边还是在另一个点的右边。

图片，比如你要比较两个点（x₁, y₁）和（x₂, y₂)，假设最底点在 (x_p, y_p)。看两个向量 v₁ = (x₁ - x_p, y₁ - y _p) 和 v₂ = (x₂ - x_p, y₂ - yp）。要确定 v₁ 是在 v₂ 的左侧还是右侧，这意味着您要查看从 v _{角度的符号1} 到 v₂。如果是正数，那么v₂在v₁的左边，如果是负数，那么v₁在v的左边₂.

二维叉积有一个很好的性质

v₁ × v₂ = |v₁| |v₂|正弦(θ)

其中 θ 是从 v₁ 到 v₂ 所形成的角度。这意味着如果 v₁ 位于 v₂ 的右侧，则 θ > 0，反之亦然，这很好，因为这可以让您比较哪一个纯粹通过取叉积！

换句话说：

如果v₁ × v₂ > 0，则v₂在v₁的左边. 如果 v₁ × v₂ = 0，则这些点共线。 如果 v₁ × v₂2 在 v₁ 的右侧.

二维叉积公式由下式给出

(Δx₁, Δy₁) × (Δx₂, Δy₂) = (Δx1 Δy₂ - Δx₂ Δy₁)

这里，Δx₁代表x₁ - x_p等

因此您可以计算上述数量，然后查看其符号以确定两点之间的关系。不需要平方根！

【讨论】：

是的，我试过了，我唯一错过的是我的函数返回的是整数，而不是浮点数。所以谢谢。 （我正在使用浮点数）另外，如果角度相同，但叉积不一样怎么办？

你能澄清你关于角度的问题吗？我没听懂。

@templatetypedef 但我认为 OP 需要排序函数来对所有点与 x 轴形成的角度进行排序。对于那个 sin 不起作用，因为它不是 [0, pi] 弧度的单调。那是他在计算角度时使用cosine函数。

【参考方案2】：

您可以通过缓存进行临时优化。

首先，Length() 可以将其结果缓存在成员变量中。您只需要在点更改的情况下使该值无效（可能并非如此）。您可以进行惰性计算，因此 Length 将检查它是否有值，如果没有则计算/存储，然后返回存储的值。

其次，对于给定的 minElement 和 xAxis，angle (minElement - a, XAxis) 成为 1 个参数的函数，因此您可以在排序之前为每个点保存（缓存）它的值并使用比较器关于准备好的值。

处理这些事情的简单方法：在主算法中使用 Point 的子类，因此每个点都已经有必要的方法和缓存值的位置。