如何计算任意功率/根？

Posted 2023-04-14

【中文标题】如何计算任意功率/根？

【英文标题】：How to calculate an arbitrary power/root?

【发布时间】：2009-09-03 21:05:30

【问题描述】：

我有一个应用程序需要将数字提高到分数幂。目标平台是 FPGA，我可以估计它的 FPU 大小，但我需要一种算法来将数字提升到分数幂，以进行可行性研究。我假设浮点是最坏的情况，我希望在实践中我们能够使用捷径，但现在我想证明我们可以实现最坏的情况。

我想我会在这里问一下，看看是否有任何我可以检查的常用方法。我知道有这样做的软件方法，我只想要一个相当有效的算法开始。我会担心 FPGA 的实现。

【参考方案1】：

您的输入范围是任意的，还是在某个范围内已知？

在任何一种情况下，x^m = exp(m log x)，所以如果您可以创建函数来计算 exp(x) 和 log(x) 并进行乘法运算，那么您可能可以了，好了。

您必须弄清楚要如何处理 x 的非正值。

（log(x) 的提示：如果这是IEEE-754 floating point，则根据需要移动有效位，直到最终得到介于 2^k 和 2^{k+1 之间的数字范围}

exp(x) 的相应提示：写 x = k+b 其中 0

（提示 #2：x^m = g(m f(x)) 其中 f(x) = log₂x 和 g 的数字可能更好(x) = 2^x.)

【讨论】：

我现在假设是任意的，我必须阅读更多系统的计算背后的理论正在执行。现在只是试图向客户提出解决方案。我只是想分析证明它可以在我们的系统上完成。

+1。不久前，我在一个奇怪的运行时工作，它缺少完整的 FP 库，但提供了 frexp/ldexp 例程来分离和重新组合指数和尾数；由此，构建标准 FP 函数相当简单。

实际上，特别是在一种情况下，指数看起来会 > 1。我不确定这是否适用于所有情况。

【参考方案2】：

正如 Jason S 所说，这是使用恒等式 x^m = exp(m log x) 完成的。但在实践中，您将不得不处理截断错误。 我认为通常这样做的方式是

使用此标识：x^m = (2ⁿ * x / 2ⁿ)^m = 2 ^nm * (x/2ⁿ)^m 并找到一个整数 n 使得 1 n 计算 t = log2(x / 2ⁿ)。这可以使用足够高程度的泰勒展开或使用良好的牛顿-拉夫森来完成。您必须确保区间 [1, 2[ 的最大误差对您来说不会太大。 计算 u = nm + tm。 我们现在的目标是计算 2^u。使用 2^u = 2^v * 2^u-v 的事实并找到一个整数 v 使得 0 再次使用我们的朋友 Taylor 或 Newton-Raphson 计算 w = 2^u-v。感兴趣的区间是 0 您的答案现在是 2^v * w.

【讨论】：

您究竟是如何使用牛顿拉夫森计算对数函数的？我可以找到使用它的 divison 算法，但是 google 上有太多“噪音”，无法找到如何使用它来计算日志。

我想我从我的计算理论中记得这是可能的，但我可能错了。我不是数学家。

你用它来计算任何函数都是一样的——它基本上是一个 f(x) = 0 的数值求解器，给定一对起点 x1，x2 并保证解决方案介于两者之间。