四元数与轴+角度

Posted 2023-04-12

【中文标题】四元数与轴+角度

【英文标题】：Quaternions vs Axis + angle

【发布时间】：2012-03-14 02:32:42

【问题描述】：

我一直试图找出两者之间的区别，但没有运气减去这个

两者的主要区别 这两种表示是四元数的旋转轴被缩放 通过旋转半角的正弦，而不是将角度存储在 向量的第四个分量，我们存储半角的余弦。

我不知道是什么

半旋转角的正弦

或

半角的余弦

是什么意思？

【问题讨论】：

可能属于Mathematics SE。

【参考方案1】：

Quaternios 和 Axis-angle 都是 3D 旋转/方向的 4D 表示，各有利弊。

axis-angle：表示旋转角度a和旋转轴n。例如，绕 Y 轴旋转 180 度将表示为 a = 180, n= 0,1,0。表示非常直观，但要实际应用旋转，则需要另一种表示，例如四元数或旋转矩阵。

四元数：表示一个 4D 向量的旋转。需要更多的数学运算并且不太直观，但它是一种更强大的表示。四元数很容易插值（混合），并且很容易将它们应用于 3D 点。这些公式很容易在网上找到。给定 a 弧度围绕归一化轴 n 的旋转，四元数 4D 向量将为 cos a/2, (sin a/2) n_x, (sin a/2) n_y, (sin a/2) n_z。这就是半角的正弦和余弦的来源。

【讨论】：

出于好奇，有没有使用更少数学但可能使用更多数字的强大表示？例如，我假设您可以堆积 Axis-Angle 表示来模仿欧几里得。

@Aaron Franke 我有时使用向量表示，其中向量的方向是旋转轴，向量的范数是旋转。我相信这有时被称为Exponential Map 或Quaternion Log。如果其中两个靠近在一起，您实际上可以在它们之间进行欧几里得插值。

【参考方案2】：

这意味着，例如，如果您想绕 Z 轴 (0,0,1) 旋转 180 度，那么四元数的实部将是 cos(180deg/2)=0，而它的虚部将是 sin(180deg/2)*(0,0,1)=(0,0,1) .那是q=0+0i+0j+1k。 90 度旋转会给你q=cos(90deg/2)+sin(90deg/2)*(0i+0j+1k)=sqrt(2)/2+0i+0j+sqrt(2)/2*k，等等。

OTOH，如果您要问什么是正弦和余弦，请检查您的语言是否提供 sin() 和 cos() 函数（尽管它们的参数可能以弧度为单位），然后查看 http://en.wikipedia.org/wiki/Sine。