将表示旋转的四元数从一个坐标系转换为另一个坐标系

Posted 2023-04-12

【中文标题】将表示旋转的四元数从一个坐标系转换为另一个坐标系

【英文标题】：Convert Quaternion representing rotation from one coordinate system to another

【发布时间】：2013-09-20 00:25:28

【问题描述】：

我从坐标系 Y=up、X=right 和 Z=backs 中的传感器数据中得到一个四元数。我的是 X=forward、Y=right、Z=up。

所以 OX=Y、OY=Z 和 OZ=-X。

我有一个可以将四元数转换为 4by4 矩阵的函数，但不知道从哪里开始。任何帮助将不胜感激。

【问题讨论】：

看起来你可以得到轴/角度，根据需要重新排列坐标，并从中构建一个新的四元数。可能比用矩阵放屁更简单。但我的 3D 数学还远不足以肯定地说。

【参考方案1】：

[X, Y, Z, W] 形式的四元数等价于轴角旋转，其中 W 仅取决于旋转角度（而不是轴），X、Y、Z 是旋转乘以 sin(Angle/2)。由于 X、Y、Z 具有此属性，因此您可以像在它们之间转换 3D 坐标一样交换和否定它们。要将传感器的坐标系转换为您的坐标系，您只需执行以下操作：

MyQuat.X = -SensorQuat.Z MyQuat.Y = SensorQuat.X MyQuat.Z = SensorQuat.Y MyQuat.W = SensorQuat.W

【讨论】：

你能链接任何解释这种数学属性的来源吗？

我注意到您正在从右手系统转换为左手系统。在这种情况下，你会想要否定你的 X Y Z 旋转。所以 MyQuat.X = SensorQuat.Z MyQuat.Y = -SensorQuat.X MyQuat.Z = -SensorQuat.Y MyQuat.W = SensorQuat.W

我认为@Roman 在这里是正确的。虽然 mkimball 正确处理坐标转换，但新系统中的左手旋转意味着我们希望在 MyQuat 中使用“0.5(2*pi - theta)”项，而在 SensorQuat 中使用“0.5*theta”项

如果我的 2 个坐标轴不是相隔 90 度，而是相隔一个复旋转怎么办？ （所以不像交换和否定那么简单）这种情况下的一般规则是什么？

【参考方案2】：

假设您有两个坐标系 F1 和 F2。为简单起见，假设两者具有相同的起源。现在让，

qo_f1 = orientation of frame F1 as seen from frame F2
qo_f2  = orientation of frame F2 is as seen from F1
q_f1 = some quaternion in F1 frame
q_f2 = q_f1 as seen from F2

那么，

q_f2 = qo_f2 * q_f1 * qo_f2.inverse()

说明

要通过四元数 q 旋转任何内容，您只需执行 q*p*q.inverse()。如果 p 是向量，则首先通过将 w=0 和 x,y,z 设置为与向量相同的方式将其转换为“假”四元数。如果 p 是四元数，那么你很高兴。

【讨论】：

这是迄今为止我看到的最好的解释。你能详细说明如何计算qo_f2吗？例如，我有一个与身体不对齐的 IMU。它有自己的参考系（可能基于北方和重力）。我想要一个参考系，其中第三个轴在重力方向（比如我有重力矢量），其他两个方向并不重要。

什么是“从 F1 看到的框架 F2 的方向”？如果我有F1 作为X=Forward, Y=Left, Z=Up，并且F2 是X=Right, Y=Down, Z=Backward，那么“从 F1 看到的框架 F2 的方向”是什么？

【参考方案3】：

您只需将其乘以 q，这是将点从 Coord2 转换为 Coord1 等价物的四元数。 说明：

q2 * point2 * (q2)^(-1) = (q1 * (q^(-1))) * point2 * (q1 * (q^(-1)))^(-1) 
= q1 * (q^(-1)) * point2 * q * (q1^(-1)) = q1 * ((q^(-1)) * point2 * q) * (q1^(-1))
= q1 * point1_equivalent * (q1^(-1))