无重量约束背包

Posted 2023-02-16

【中文标题】无重量约束背包

【英文标题】：Constrained Knapsack without weight

【发布时间】：2016-02-09 19:30:04

【问题描述】：

我刚刚遇到了以下问题（它让我想起了背包问题，但有一些不同）：

给你 n 件物品，你必须把它们放在你的背包里，以获得最大的利润。每个项目都有特定的利润值和特定的形状。由于它们的形状，有些物品不能一起放入背包。与正常的背包问题不同，没有最大重量限制背包中物品的数量。 您还将获得每个项目的列表。在该列表中，您可以看到可以与相应物品一起放入背包的物品。

是否有计算最优解的算法？ 或者它是一个NP完全问题？那样的话，有没有逼近的方法？

【参考方案1】：

我认为这是NPC。

polynomial verification requirement 是微不足道的。

减少到Maximal Independent Set 问题。对于每个 MIS 实例 G = (V, E)，构造一组项目 V，每个项目都有单位利润。对于每个项目 v ∈ V，它可以放置的项目列表是它不共享边的顶点集。即，如果 G(v) 是可以与 v 一起使用的项目列表，则 G(v) = w | (u, w) ∉ E.

如果对于新问题有一个利润k 的解决方案，那么它使用不在彼此列表中的k 个项目。由此可见，独立集问题有一个大小为k的解。

【讨论】：

非常感谢！很好的答案！现在我还发现，如果你没有单位利润，这个问题就叫做最大权重独立集。