如何找到固定 n 的前 r 二项式系数的总和？

Posted 2023-03-31

【中文标题】如何找到固定 n 的前 r 二项式系数的总和？

【英文标题】：How to find a sum of the first r binomial coefficients for fixed n?

【发布时间】：2016-10-08 11:39:48

【问题描述】：

我已经尝试了解决这个系列的基本方法，但是n 和r 的较大值需要时间。有没有办法在一个时间复杂度不依赖于n OR r.Range r,n 的单个表达式中减少这个表达式

注意：这里是r < n，即我必须找到这个系列的第一个r+1 术语的总和。

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我已经阅读了这个问题，但它对我没有帮助：

Algorithm to find Sum of the first r binomial coefficients for fixed n modulo m

【问题讨论】：

“n & r 的较大值”是什么意思。你想在哪个范围内选择n和r？

你现在如何计算nCr的值？

r 和 n 有什么限制？我们可以假设 r 相对较小吗？

这个模数是什么？否则，对于“n 和 r 的较大值”，您将溢出整数。

关于“已经尝试过基本方法......”：您应该发布代码的重要部分，并说明需要多少时间。这是为了让人们知道这种“基本方式”是什么，所以他们不会发布建议它的答案。也很高兴知道您的时间太多了。

【参考方案1】：

AFAIK，没有这样的表达可以简化。但它可以在 O(r) 时间复杂度内完成，如下所示。

考虑一个数组 A，其中 A[i] 存储 ⁿc_i。然后我们可以很容易地验证 A[i] = A[i-1].(n-i+1)/(i)

所以

A[0] = 1;
for(int i=1;i<=r;i++)
    A[i] = A[i-1].(n-i+1)/(i);

int ans = 0; //The required answer
for(int i=0;i<=r;i++)
    ans = ans+A[i];

【讨论】：

我想补充一点，如果n/2 << r < n 那么你可以通过从r to n 中减去总和并从2^n 中减去它来节省一些计算时间，这是 整行行

我必须用模 m 来计算它。我试过了，但结果错误。这是我的代码，以防您发现任何错误Arr[0] = 1; for(i=1;i<=max;i++) Arr[i] = ((Arr[i-1]*(range-i+1))/i)%MOD; for(i=0;i<=max;i++) sum += Arr[i]; sum%=MOD;

不，这不起作用。 (a.b)%m = ((a%m).(b%m))%m 是真的，但不能保证 ( a.(b/c) )%m = ((a%m).( (b/c) %m))%m。正如this 链接中所述，在为所有i<=n 存储i! % m 后，您可以非常快地找到ncrmodm。如果您不理解该解决方案，请在下面发表评论，我将编辑我的答案并发布详细的解决方案。我假设m is prime.

【参考方案2】：

对于较大的 N，二项式系数的行为类似于高斯曲线（至少对于最中心的值）。这可以从斯特林公式推导出来，并得到中心极限定理的支持。

那么部分和就可以用Error函数来近似了。