应用于傅里叶变换信号的卷积滤波器

Posted 2023-03-31

【中文标题】应用于傅里叶变换信号的卷积滤波器

【英文标题】：Convolutional filter applied to Fourier-transformed signal

【发布时间】：2020-06-22 21:05:30

【问题描述】：

我知道两个信号卷积的傅里叶变换是它们的傅里叶变换的逐点乘积 (convolutional theorem)。我想知道的是，在已知情况下，卷积可以有意义地应用于频域中的傅立叶变换信号（例如时间序列或图像），以充当滤波器，而不是乘以方阵。此外，是否存在增加时域大小的滤波器的已知应用，即频域中的矩阵是矩形的，然后应用逆 FT 回到时域？特别是，我对这种深度学习方法的已知示例感兴趣。

【参考方案1】：

正如您所说，两个信号的卷积是它们傅里叶变换的逐点乘积。这在两个方向上都是正确的——两个傅里叶变换信号的卷积等于两个时间序列的逐点乘积。

您必须适当地定义“卷积” - 对于离散傅里叶变换，卷积是循环卷积。

在时域中进行逐点块乘法肯定有有意义的用途（例如，在转换到频域之前将数据窗口应用于信号，或调制载波），因此您可以说它是有意义的在频域中进行卷积。但与仅在时域中进行操作相比，它不太可能高效。

请注意，多年来在优化傅里叶变换方面付出了很多努力，这正是因为在频域中进行块乘法（它是 O(n)）比在时域（即 O(n^2)）。由于傅立叶变换为 O(n log(n))，因此 forwardTransform-b​​lockMultiply-inverseTransform 的组合通常比进行卷积更快。在另一个方向上仍然如此，因此如果您从频率数据开始，则 inverseTransform-b​​lockMultiply-forwardTransform 通常比在频域中进行卷积更快。当然，通常你已经在某处拥有原始时间数据，因此时域中的块相乘会更快。

不幸的是，我不知道有哪些应用程序会在我的脑海中增加时域的大小。而且我对深度学习一无所知，所以在这方面我帮不了你。